Décrire un système thermodynamique : le modèle du gaz parfait

1. Énoncer les deux hypothèses du modèle du gaz parfait.

2. Donner l'équation d'état du gaz parfait et préciser les unités SI de chaque grandeur.

3. Convertir 0 °C, 25 °C, 100 °C et 250 °C en kelvins. Convertir 0 K, 273 K et 373 K en degrés Celsius.

4. Interpréter à l'échelle microscopique pourquoi la pression d'un gaz augmente lorsque la température augmente, à volume et quantité de matière constants.

5. Citer deux conditions dans lesquelles le modèle du gaz parfait n'est plus approprié.

Données : R = 8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹ ; P_atm = 1,013×10⁵ Pa.

1. Calculer le volume molaire V_m à T = 0 °C sous P = 1 atm. Convertir en L·mol⁻¹.

2. Refaire le calcul à T = 25 °C sous P = 1 atm (CNTP usuelles).

3. Quelle quantité de matière de gaz parfait est contenue dans une salle de classe de volume V = 200 m³ dans les CNTP usuelles ?

4. Pourquoi le résultat de la question 3 est-il indépendant de la nature du gaz ?

On considère un module cylindrique d'une station orbitale évoluant dans le vide spatial. Le module a une longueur L = 5,0 m et un rayon intérieur R = 1,8 m. On souhaite y maintenir une pression P = 0,80 atm à T = 18 °C.

Données : R_GP = 8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹ ; 1 atm = 1,013×10⁵ Pa.

1. Calculer le volume V du module.

2. Calculer la quantité de matière n d'air à placer dans le module pour atteindre les conditions visées.

3. Calculer l'aire S d'une paroi circulaire (extrémité du cylindre).

4. En déduire la valeur de la force F exercée par l'air sur cette paroi. Commenter l'ordre de grandeur.

Un cycliste gonfle son pneu en hiver dans son garage à T₁ = 5,0 °C jusqu'à une pression P₁ = 7,0 bar. Il roule ensuite en plein soleil l'été, et le pneu atteint T₂ = 50 °C. On suppose que le volume du pneu et la quantité d'air sont constants.

1. Énoncer la loi qui s'applique entre l'état 1 et l'état 2 (cas particulier de PV = nRT).

2. En déduire l'expression littérale puis la valeur numérique de la pression P₂ dans le pneu en été.

3. Commenter le résultat : le risque d' éclatement est-il significatif ?

Une bouteille de plongée de volume V = 12 L est gonflée à P₁ = 200 bar à T = 20 °C. Le plongeur respire à un débit moyen de D = 20 L·min⁻¹ d'air mesuré à la pression de la pression atmosphérique (1,013×10⁵ Pa) et à 20 °C.

Données : R = 8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹ ; M_air = 29 g·mol⁻¹ ; température constante T = 293 K.

1. Calculer la quantité de matière n₁ initiale d'air dans la bouteille.

2. Calculer la masse correspondante m₁.

3. Pendant 30 min de plongée, le plongeur consomme un certain volume V_cons mesuré aux conditions atmosphériques. Calculer la quantité de matière n_cons correspondante.

4. Déterminer la pression finale P₂ dans la bouteille après ces 30 min.

Un ballon-sonde météorologique est gonflé à l'hélium au sol : V₀ = 2,5 m³ à P₀ = 1013 hPa et T₀ = 290 K. Il monte en altitude, et lorsqu'il atteint h = 30 km, on mesure P = 12 hPa et T = 230 K.

Données : R = 8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹ ; M_He = 4,0 g·mol⁻¹ ; on suppose que la membrane est extensible, donc P_intérieur = P_extérieur à tout instant.

1. Calculer la quantité de matière n d' hélium dans le ballon (constante au cours de l'ascension).

2. Établir l'expression littérale du volume V à 30 km en fonction de V₀, P₀, P, T et T₀.

3. Calculer la valeur de V à 30 km. Comparer à V₀ et commenter.

Au laboratoire, on isole un gaz inconnu dans un flacon de volume V = 250 mL. On mesure sa masse à m = 0,488 g, à T = 25 °C et P = 1,013×10⁵ Pa.

1. Calculer la masse volumique ρ du gaz.

2. En supposant que le gaz se comporte comme un gaz parfait, établir l'expression de sa masse molaire M en fonction de ρ, R, T et P.

3. Calculer M en g·mol⁻¹.

4. Identifier le gaz parmi les candidats suivants : N₂ (28), O₂ (32), CO₂ (44), C₃H₈ (44), Ar (40), SO₂ (64).

Exercice d'ouverture hors programme : l'équation de Van der Waals n'est pas exigible au bac, à réserver aux curieux.

On enferme n = 1,0 mol de dioxyde de carbone CO₂ dans un récipient de volume V = 0,50 L à T = 300 K. On veut comparer la pression prédite par le modèle du gaz parfait à celle prédite par l'équation de Van der Waals.

Données : R = 8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹ ; pour le CO₂, les constantes de Van der Waals valent a = 0,3640 Pa·m⁶·mol⁻² et b = 4,27×10⁻⁵ m³·mol⁻¹.

1. Calculer la pression P_GP prédite par l'équation du gaz parfait PV = nRT.

2. Rappeler l'équation de Van der Waals et la signification physique des deux corrections.

3. Calculer la pression P_VdW prédite par l'équation de Van der Waals.

4. Comparer P_GP et P_VdW. Quelle correction domine (volume propre ou attraction inter- moléculaire) ?

5. Que se passerait-il si on plaçait le même CO₂ dans un récipient de V = 50 L à 300 K ? Conclure sur les conditions de validité du modèle du gaz parfait.