Le premier principe de la thermodynamique

Le premier principe de la thermodynamique

Une casserole d'eau chauffée sur le gaz, un café qui refroidit, un radiateur qui réchauffe une pièce, la Terre chauffée par le Soleil : tous ces phénomènes obéissent à un principe unique formulé au XIXᵉ siècle, la conservation de l'énergie. On va le traduire mathématiquement par Δ U = W + Q, puis on l'appliquera pour calculer l'énergie reçue par un solide qui chauffe, le flux à travers un mur d'isolation, l'évolution temporelle d'un café qui refroidit, et même la température moyenne de la Terre.

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

citer les contributions microscopiques à l'énergie interne U ;

distinguer dans un bilan la variation de U du système et les transferts W et Q ; prévoir le sens d'un transfert thermique ;

exploiter Δ U = m c Δ T pour un système incompressible ;

caractériser conduction, convection, rayonnement ;

exploiter le flux thermique Φ et la résistance thermique Rth ;

effectuer un bilan d'énergie avec la loi de Newton et résoudre l'équation différentielle T(t) ;

établir le bilan thermique de la Terre avec la loi de Stefan-Boltzmann fournie.

Énergie : comment passe-t-elle d'un système à un autre ?

La thermodynamique est la science qui décrit les échanges et conversions d'énergie entre systèmes. Inventée au XVIIIᵉ siècle pour comprendre les machines à vapeur, elle a révolutionné notre compréhension de la nature elle-même.

Quatre situations à comprendre Un radiateur reçoit de l'énergie électrique et chauffe la pièce. Qu'est-il advenu de l'énergie ?

Un café chaud posé sur la table refroidit progressivement jusqu'à la température ambiante. Selon quelle loi mathématique ?

Un mur isolé laisse passer moins d'énergie qu'un mur nu. Comment quantifier cette « moindre fuite » ?

La Terre, baignée par le rayonnement solaire, a une température moyenne de 15 °C. Pourquoi pas 0 °C, pourquoi pas 100 °C ?

La question qui ouvre ce chapitre Comment écrire la conservation de l'énergie pour un système thermodynamique, et comment l'appliquer pour prédire les transferts d'énergie ?

Énergie interne d'un système

Tout système macroscopique est composé d'un grand nombre d'entités microscopiques. Chacune possède une énergie cinétique (mouvement) et une énergie potentielle d' interaction avec ses voisines.

Énergie interne U L'énergie interne U d'un système thermodynamique est la somme des énergies microscopiques de toutes ses entités :

U = E_c,micro + E_p,micro E_c,micro : énergies cinétiques d'agitation thermique des entités.

E_p,micro : énergies potentielles d'interaction entre entités voisines.

U s'exprime en joules (J).

Cas particulier : gaz parfait Dans le modèle du gaz parfait, les entités n' interagissent pas entre elles : Ep,micro = 0. L'énergie interne se réduit à Ec,micro, et elle ne dépend donc que de la température. Pour les solides et les liquides, les interactions ne sont pas négligeables.

Énergie totale = énergie macro + énergie interne

Énergie totale d'un système On distingue deux grandes contributions à l'énergie totale d'un système :

E_tot = E_c + E_p_E_m (macro) + U_micro Énergie mécanique macroscopique Em : énergie cinétique liée au mouvement d'ensemble du système (chute, rotation) + énergie potentielle (de pesanteur, élastique, électrique).

Énergie interne U : énergie cumulée à l'échelle microscopique.

Hypothèse simplificatrice du chapitre On considère dans tout ce chapitre que le système est au repos macroscopique dans le référentiel d'étude : Em = constante. La variation d'énergie totale se réduit donc à la variation d'énergie interne :

Δ E_tot = Δ U (système au repos macro)

Deux modes de transfert : travail W et chaleur Q

Quand un système échange de l'énergie avec son milieu extérieur (sans échange de matière, système fermé), il existe deux modes :

Travail W Le travail W mesure la quantité d' énergie échangée par déplacement macroscopique du point d'application d'une force (compression, dilatation, agitation mécanique, courant électrique…).

Unité : joule (J).

Transfert thermique Q (« chaleur ») Le transfert thermique Q est l'échange d'énergie à l'échelle microscopique entre le système et l'extérieur, sans déplacement macroscopique de la paroi qui les sépare. Il se fait spontanément du corps chaud vers le corps froid.

Unité : joule (J).

Convention de signe (algébrique) W et Q sont des grandeurs algébriques :

W > 0 ou Q > 0 : énergie reçue par le système.

W < 0 ou Q < 0 : énergie cédée par le système au milieu extérieur.

Cette convention dite « du système » est universelle en thermodynamique. La signature du transfert dépend du système choisi : pour un radiateur qui chauffe une pièce, Qradiateur < 0 et Qpièce > 0 (ce sont les mêmes joules vus depuis deux côtés).

Premier principe de la thermodynamique

Énoncé du premier principe Pour un système fermé au repos qui passe d'un état initial à un état final, en recevant un travail W et un transfert thermique Q :

Δ U = U_f - U_i = W + Q ΔU, W, Q s'expriment en joules (J).

C'est un principe (postulat), donc indémontrable. Mais il a été vérifié par toutes les expériences depuis 1845.

Il généralise la conservation de l'énergie mécanique : ce qui ne se conserve pas en Em (énergie dissipée) se retrouve en U.

Méthode d'un bilan énergétique en 4 étapes Définir le système fermé et au repos. L'extérieur est tout le reste.

Lister tous les transferts d'énergie entre système et extérieur, en attribuant un signe selon la convention.

Écrire le 1ᵉʳ principe ΔU = W + Q.

Faire la somme algébrique et conclure : si ΔU > 0, le système a gagné de l'énergie interne ; sinon il en a perdu.

Appareil de Joule : équivalence chaleur-travail (1850)

James Joule a montré qu'il existe deux moyens d'atteindre le même état final à partir d'un même état initial : par transfert thermique Q (chauffage) ou par travail mécanique W (agitation forcée). Il en déduit que W et Q sont équivalents : ce sont deux modes de la même énergie. Cette intuition était révolutionnaire, jusqu'à lui, calorie et joule avaient des unités séparées.

Cas du système incompressible : capacité thermique

Système incompressible Un système est incompressible si son volume reste constant pendant la transformation. C'est une très bonne approximation pour les solides et la plupart des liquides.

Relation entre ΔU et ΔT Pour un système incompressible, la variation d'énergie interne est proportionnelle à la variation de température :

Δ U = C Δ T = m c Δ T C : capacité thermique du système (en J·K⁻¹).

c : capacité thermique massique du matériau (en J·kg⁻¹·K⁻¹). C = m × c.

ΔT en kelvins ou en degrés Celsius (un écart est identique dans les deux échelles).

Pour un solide immobile, le travail W = 0 (pas de déplacement macroscopique), donc le 1ᵉʳ principe devient Q = m c Δ T.

Quelques capacités thermiques massiques Matériau c (J·kg⁻¹·K⁻¹) Commentaire Eau liquide 4 185 très élevée, d'où son rôle thermique Éthanol 2 430 liquide « modéré »

Aluminium 897 métal usuel léger Verre 720 isolant solide Cuivre 385 métal conducteur

L'eau a une capacité massique très élevée, c'est pourquoi les océans régulent le climat (ils chauffent et refroidissent lentement).

Les trois modes de transfert thermique

Un transfert thermique entre un système et l'extérieur peut emprunter trois mécanismes distincts, parfois simultanément.

1. Conduction Transport d'énergie à travers un milieu solide par chocs entre particules voisines, sans déplacement macroscopique de matière.

Exemples : la cuillère plongée dans le café chaud devient chaude à l'extrémité ; un mur qui transmet la chaleur de l'intérieur vers l'extérieur.

2. Convection Transport d'énergie dans un fluide par déplacement collectif de matière (courants chauds qui montent, froids qui descendent).

Exemples : air chaud d'un radiateur qui s'élève ; eau qui bout dans une casserole avec des bulles circulantes.

3. Rayonnement Émission d'ondes électromagnétiques (souvent infrarouges) par tout corps de température non nulle. Seul mode possible dans le vide.

Exemples : le rayonnement du Soleil qui chauffe la Terre à travers 150 millions de km de vide ; les braises du feu qui chauffent à distance sans contact.

En pratique, les trois coexistent Quand on chauffe une casserole : conduction (flamme → fond de la casserole → eau) + convection (mouvements dans l'eau) + rayonnement (flamme qui rayonne sur les parois extérieures). C'est rare qu'un seul mode soit présent.

Flux thermique et résistance thermique

Flux thermique Φ Le flux thermique Φ (ou puissance thermique Pth) mesure la vitesse du transfert thermique : énergie transférée par unité de temps.

= (Q)/(Δ t) Φ en watts (W) ; Q en joules (J) ; Δt en secondes (s).

Conventions de signe identiques à celles de Q : Φ > 0 si reçu, Φ < 0 si cédé.

Résistance thermique Rth (formule fournie au bac)

La résistance thermique d'un matériau traduit son opposition au transfert thermique. Pour une paroi plane, elle relie le flux et l'écart de température :

R_th = (|Δ T|)/( ) = (T_chaude - T_froide)/( ) Rth en K·W⁻¹ ; ΔT en K (ou °C) ; Φ en W.

Pour une paroi plane d'épaisseur e, de surface S et de conductivité thermique λ :

R_th = (e)/(λ S) e en m ; S en m² ; λ en W·m⁻¹·K⁻¹.

Un bon isolant a une petite conductivité (le liège : λ ≈ 0,04 W·m⁻¹·K⁻¹) → grande résistance.

Un bon conducteur a une grande conductivité (le cuivre : λ ≈ 390 W·m⁻¹·K⁻¹) → petite résistance.

Parois accolées en série Quand plusieurs parois sont accolées (mur + isolant + placoplâtre, par exemple), les résistances thermiques s'additionnent comme des résistances électriques en série : R_tot = R_1 + R_2 + R_3. Le flux traversant l'ensemble vaut alors = |Δ T| / R_tot.

Loi de Newton et évolution de T(t)

Loi phénoménologique de Newton (formule fournie)

Lorsqu'un solide de température T est plongé dans un fluide (thermostat) de température Tth, le flux thermique conducto-convectif échangé à travers une surface d'aire S est :

= h S (T_th - T) Φ en W ; S en m² ; T et Tth en K (ou °C, l'écart est le même).

h : coefficient de transfert conducto-convectif (W·m⁻²·K⁻¹) ; dépend du fluide.

Φ > 0 si Tth > T (le solide se réchauffe).

Équation différentielle de la température Pour un solide incompressible de masse m, capacité c, durant une durée infinitésimale dt :

m c (dT)/(dt) = = h S (T_th - T) (dT)/(dt) + (1)/( ) T = (1)/( ) T_th avec = (m c)/(h S)

τ est le temps caractéristique en secondes. Au bout de 5τ, T est à 99 % de Tth.

Solution de l'équation différentielle Avec la condition initiale T(0) = T0 :

T(t) = (T_0 - T_th) e^-t/ + T_th Si T0 > Tth : le système se refroidit exponentiellement.

Si T0 < Tth : le système se réchauffe exponentiellement.

Limite : T(t) → T_th quand t → +∞.

Loi de Stefan-Boltzmann (formule fournie)

Puissance rayonnée par un corps noir Tout corps de température T > 0 K rayonne. La puissance surfacique p émise par un corps noir (modèle d'objet absorbant tout le rayonnement reçu et le réémettant) vérifie la loi de Stefan-Boltzmann :

p = T^4 p en W·m⁻² ; T en kelvins (K).

σ = 5,67×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ : constante de Stefan-Boltzmann.

Puissance totale rayonnée par un corps de surface S : P_th,ray = T^4 S.

Puissance rayonnée par le Soleil Le Soleil est assimilé à un corps noir de rayon RS = 6,96×10⁸ m, température de surface TS = 5 778 K. Sa surface vaut S = 4πRS² ≈ 6,1×10¹⁸ m². D'où :

P_Soleil = T_S^4 S = 5,67 × 10^-8 × (5778)^4 × 6,1 × 10^18 ≈ 3,9 × 10^26 W

Le Soleil émet ≈ 4×10²⁶ W. C'est précisément cette quantité (atténuée par la distance) qui parvient à la Terre.

Bilan thermique de la Terre

On considère le système { Terre + atmosphère } assimilé à une boule de surface S. À l'équilibre thermique, la puissance reçue du Soleil = la puissance rayonnée vers l'espace.

Puissance reçue (avec albédo α) La Terre reçoit du Soleil une puissance surfacique pS = 340 W·m⁻² (en moyenne sur l'année et toute la surface). Une fraction α (albédo) est réfléchie ; la fraction (1−α) est absorbée :

P_reçue = (1-α) p_S S α = 0 pour un corps noir parfait ; α = 1 pour un miroir parfait.

Albédo terrestre moyen : α ≈ 0,34.

Surface blanche (neige) : α ≈ 0,8 ; océan : α ≈ 0,1.

Puissance rayonnée (avec effet de serre, fraction a absorbée par l'atmosphère)

La Terre rayonne comme un corps noir à TT selon Stefan-Boltzmann. Une fraction a est absorbée par l' atmosphère (effet de serre) ; seule la fraction (1−a) part dans le cosmos :

P_perdue = (1-a) T_T^4 S a ≈ 0,45 pour la Terre actuelle. Plus la concentration en gaz à effet de serre est élevée, plus a est grand.

Équilibre thermique : Preçue = Pperdue On égale les deux puissances et on isole TT :

(1-α) p_S S = (1-a) T_T^4 S T_T = [4]((1-α) p_S)/((1-a) ) Application numérique

Avec α = 0,34 ; a = 0,45 ; pS = 340 W·m⁻² ; σ = 5,67×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ : T_T = [4]((1-0,34) × 340)/((1-0,45) × 5,67 × 10^-8) ≈ 291 K ≈ 18 Valeur cohérente avec la température moyenne mesurée (≈ 15 °C). Sans atmosphère (a = 0), on trouverait TT ≈ −22 °C, l'effet de serre est indispensable à l'habitabilité de la planète.

Rétroaction climatique Le réchauffement fait fondre la neige (α élevé) qui laisse place à de l'eau (α faible) → l'absorption augmente → T augmente encore → fonte accélérée. C'est une rétroaction positive qui amplifie le réchauffement initial. Le GIEC prévoit + 3 à + 4 °C à l'horizon 2 100 si les émissions de gaz à effet de serre ne sont pas drastiquement réduites.

Ce qu'il faut retenir

Énergie interne, U = Ec,micro + Ep,micro. Pour un gaz parfait, Ep,micro = 0. U est en joules.

1ᵉʳ principe, Δ U = W + Q. W et Q sont algébriques (positifs si reçus, négatifs si cédés).

Système incompressible, Δ U = m c Δ T = C Δ T. Pour un solide immobile, W = 0 et Q = m·c·ΔT.

3 modes de transfert, conduction (chocs solides), convection (fluide en mouvement), rayonnement (ondes EM, seul mode dans le vide).

Flux & résistance, = Q/Δ t en watts ; R_th = e/(λ S) = |Δ T|/. Rth s'additionnent en série.

Loi de Newton, = hS(T_th - T) ; mène à T(t) = (T_0 - T_th) e^-t/ + T_th avec = mc/(hS).

Stefan-Boltzmann, p = T^4 ; σ = 5,67×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴.

Bilan Terre, T_T = [4](1-α) p_S/[(1-a) ] ≈ 291 K ≈ 18 °C avec albédo α et coefficient d'effet de serre a.