Mouvement dans un champ uniforme

1. Définir un champ uniforme. Donner deux exemples au programme.

2. Écrire la 2ᵉ loi de Newton appliquée à un système en chute libre. En déduire le vecteur accélération.

3. Donner les expressions de la flèche et de la portée d'un tir parabolique. Indiquer pour quel angle la portée est maximale.

4. Quelle est la relation entre E, U et d pour un condensateur plan ?

5. Énoncer le théorème de l'énergie cinétique.

Un footballeur tire le ballon (masse m = 450 g) avec une vitesse initiale $v_0 = 25$ m·s⁻¹ inclinée de $\alpha = 30^\circ$ au-dessus de l'horizontale. On néglige les frottements de l'air. g = 9,81 m·s⁻².

1. Établir l'équation de la trajectoire $y(x)$.

2. Calculer la flèche du tir (hauteur maximale atteinte).

3. Calculer la portée (distance parcourue avant le retour à l'altitude de lancer).

4. À quel angle aurait-il fallu tirer pour obtenir la portée maximale, à la même vitesse v₀ ? La calculer.

Un sauteur en longueur quitte la planche à une vitesse $v_0 = 9{,}5$ m·s⁻¹. On modélise son mouvement par celui de son centre de masse (à une hauteur sensiblement constante h₀ = 1,0 m au moment de l'envol). g = 9,81 m·s⁻². On néglige les frottements.

1. Justifier que l'angle optimal n'est plus exactement 45° si le sauteur ne retombe pas à la même altitude que celle de son envol.

2. En faisant l'hypothèse simplificatrice que h₀ ≈ 0, calculer la portée maximale du saut en prenant $\alpha = 45^\circ$.

3. Comparer avec le record du monde de saut en longueur (8,95 m, Mike Powell, 1991). Commenter.

Un électron (masse $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg, charge −e) pénètre horizontalement dans un condensateur plan, exactement au milieu des deux plaques. Sa vitesse initiale est $v_0 = 1{,}5 \times 10^7$ m·s⁻¹. Les plaques (longueur L = 8,0 cm) sont séparées de d = 2,0 cm et soumises à une tension U = 50 V. Le champ $\vec{E}$ est vertical descendant. On néglige le poids.

1. Calculer la valeur du champ E.

2. Déterminer le vecteur accélération de l'électron. Donner sa direction et son sens.

3. Établir les équations horaires et l' équation de la trajectoire (l'axe (Ox) horizontal dans le sens de v₀, (Oy) vertical vers le haut, origine à l'entrée des plaques).

4. Calculer la déviation verticale de l'électron à la sortie des plaques (en x = L). L'électron sort-il du condensateur sans percuter une plaque ?

Un proton (masse $m_p = 1{,}67 \times 10^{-27}$ kg, charge +e) est accéléré depuis le repos sur une distance L = 20 cm dans un champ électrique uniforme $E = 5{,}0 \times 10^4$ V·m⁻¹ orienté de façon à accélérer le proton.

1. Calculer la tension U entre les deux extrémités de l'accélérateur.

2. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, déterminer l'énergie cinétique acquise par le proton.

3. En déduire la vitesse de sortie du proton.

4. Vérifier le résultat en calculant $v_B$ par la formule directe $v_B = \sqrt{2qU/m}$.

Une voiture de masse m = 1,4 × 10³ kg est libérée en A sans vitesse initiale au sommet d'une pente rectiligne. Elle descend moteur éteint, sans freiner. La pente mesure AB = 500 m de longueur et un dénivelé h = 50 m.g = 9,81 m·s⁻².

1. En supposant les frottements négligeables et l'énergie mécanique conservée, calculer la vitesse de la voiture en B (en m·s⁻¹ puis en km·h⁻¹).

2. En réalité, l'expérience montre que la voiture franchit B à 87,5 km·h⁻¹. Calculer la variation d'énergie cinétique réelle entre A et B.

3. Quelle force, négligée précédemment, explique la différence ? Calculer son intensité (supposée constante).

Un boulet de canon (masse m = 12,0 kg) est tiré au point O à la surface du sol avec une vitesse initiale $v_0 = 80$ m·s⁻¹ inclinée à $\alpha = 35^\circ$ au-dessus de l'horizontale. On néglige les frottements de l'air. g = 9,81 m·s⁻².

1. Faire un schéma annoté avec le repère $(O, x, y)$, $\vec{v_0}$ et $\vec{g}$.

2. Justifier que le mouvement est plan et établir l'équation de la trajectoire $y(x)$.

3. Calculer la flèche du tir.

4. Calculer la portée.

5. Calculer l'énergie cinétique au moment du tir (E_c(O)) puis au sommet de la trajectoire (E_c(S)).

6. Vérifier la conservation de l'énergie mécanique entre O et S.

7. Sans refaire de calcul, dire à quelle vitesse le boulet retombe au sol. Justifier.