Mouvement dans un champ uniforme

Mouvement dans un champ uniforme

Comment passe-t-on des forces appliquées à un système au mouvement qu'il décrit ? Si le système est plongé dans un champ uniforme, l'accélération est constante et le mouvement entièrement déterminé par les conditions initiales. Deux champs au programme : la pesanteur uniforme (chute libre, projectile) et le champ électrique uniforme (condensateur, accélérateur de particules).

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

définir un champ uniforme et le distinguer d'un champ variable ;

établir les équations horaires du mouvement par double intégration de a ;

déterminer l'équation de la trajectoire y(x) en éliminant t ;

calculer la flèche et la portée d'un projectile ;

étudier le mouvement d'une particule chargée dans un condensateur plan ;

appliquer le théorème de l'énergie cinétique à un accélérateur linéaire.

Du tir à la parabole, du condensateur à l'accélérateur

Quand on lance une balle, sa trajectoire est une parabole. Quand on injecte une particule chargée entre deux plaques chargées, sa trajectoire est aussi une parabole. Ce n'est pas une coïncidence : dans les deux cas, le système est soumis à une force constante, donc à une accélération constante.

Méthode commune à tout le chapitre On part toujours de la même chaîne d'idées : Forces 2^e loi a v OM élimination de t y(x) La nature du champ (pesanteur ou électrique) ne change que la première étape. Le reste est strictement identique.

Notion de champ uniforme

Champ uniforme Un champ vectoriel est dit uniforme dans une région de l'espace si son vecteur est identique en tout point de cette région : même direction, même sens, même norme.

Un champ uniforme se représente par des vecteurs parallèles, équidistants et de même longueur.

Deux champs uniformes au programme Champ de pesanteur g : à l'échelle humaine (échelle d'un labo, d'un terrain, d' une falaise), il est considéré comme uniforme, vertical vers le bas, de norme g ≈ 9,81 N·kg⁻¹. À l'échelle planétaire il varie (champ radial, intensité qui décroît).

Champ électrique E : uniforme entre les armatures d'un condensateur plan chargé. Dans d'autres situations (autour d'une charge ponctuelle, par exemple), il ne l'est pas.

Conséquence physique majeure Pour un système soumis à une force liée à un champ uniforme (poids P = m g ou force électrique F = q E ), la 2ᵉ loi de Newton donne une accélération constante :

a = g (pesanteur) ou a = (q)/(m) E (électrique) Le mouvement est uniformément accéléré.

Champ de pesanteur uniforme : position du problème

Système et conditions initiales Système : un solide de masse m en chute libre (soumis à son seul poids, pas de frottement de l'air).

Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

Repère : (O, i, j, k), origine au point de lancement, j vertical vers le haut, i horizontal dans le plan du tir.

Conditions initiales : à t = 0 s, le système est à l'origine avec une vitesse v_0 formant un angle α avec l'horizontale : v_0 = pmatrix v_0 α \ v_0 α \ 0 pmatrix Application de la 2ᵉ loi de Newton

La seule force qui agit est le poids P = m g. D' après la 2ᵉ loi :

F_ext = m a m g = m a a = g L'accélération est donc constante, verticale vers le bas, indépendante de la masse :

a = pmatrix a_x = 0 \ a_y = -g \ a_z = 0 pmatrix

Équations horaires de la vitesse et de la position

On obtient le vecteur vitesse en cherchant les primitives des composantes de l'accélération par rapport au temps :

v(t) = pmatrix v_x = C_1 \ v_y = -g t + C_2 \ v_z = C_3 pmatrix

Les constantes C_1, C_2, C_3 sont déterminées par les conditions initiales v(0) = v_0 :

v(t) = pmatrix v_x(t) = v_0 α \ v_y(t) = -g t + v_0 α \ v_z(t) = 0 pmatrix

On intègre une deuxième fois pour obtenir le vecteur position :

OM(t) = pmatrix x(t) = v_0 α · t \ y(t) = -(1)/(2) g t^2 + v_0 α · t \ z(t) = 0 pmatrix Trois constats

z(t) = 0 à tout instant : la trajectoire est plane, comprise dans le plan (Oxy).

v_x est constante : le mouvement horizontal est rectiligne uniforme.

v_y évolue linéairement : le mouvement vertical est uniformément accéléré (sous l'effet de la pesanteur).

Équation de la trajectoire y(x)

Équation de la trajectoire L'équation de la trajectoire est la relation mathématique entre les coordonnées spatiales y(x), obtenue en éliminant le temps t entre les équations horaires.

Méthode, partir de x(t) = v_0 α · t :

t = (x)/(v_0 α) Reporter dans y(t) :

y(x) = -(1)/(2)g ((x)/(v_0 α) )^2 + v_0 α · (x)/(v_0 α) y(x) = -(g)/(2 v_0^2 ^2α) x^2 + α · x Lecture mathématique

L'équation y(x) est de la forme y = a x^2 + b x avec a < 0 : c'est une parabole tournée vers le bas, qui passe par l'origine.

Cas particuliers d'angle α = 0 (tir horizontal) : y(x) = -(g)/(2 v_0^2) x^2 (chute parabolique pure).

α = 90^° (tir vertical) : α = 0 donc x = 0 ; le mouvement est purement vertical (cas dégénéré, voir Ch2).

Flèche et portée du tir

Flèche La flèche est la hauteur maximale atteinte par le centre de masse pendant le tir. Elle est atteinte au sommet S de la parabole, où v_y(t_S) = 0.

v_y(t_S) = 0 -g t_S + v_0 α = 0 t_S = (v_0 α)/(g) L'altitude au sommet est :

y_S = ((v_0 α)^2)/(2g) Flèche maximale (à v₀ fixée) pour α = 90^° (tir vertical).

Portée La portée x_P est la distance horizontale parcourue avant que le centre de masse revienne à son altitude de lancer ( y = 0 ). On résout :

y(x) = 0 x (-(g)/(2v_0^2 ^2α) x + α ) = 0 Solution non triviale ( x ≠ 0 ) :

x_P = (v_0^2 (2α))/(g) Portée maximale (à v₀ fixée) pour (2α) = 1, donc α = 45^°.

À retenir Deux angles complémentaires ( α et 90^° - α ) donnent la même portée mais des flèches différentes. L'angle optimal pour la portée est 45°.

Champ électrique uniforme : condensateur plan

Condensateur plan Un condensateur plan est constitué de deux plaques métalliques conductrices, parallèles, séparées d' une distance d par un isolant (vide, air).

Quand on applique une tension U constante entre les armatures, elles se chargent (positivement d'un côté, négativement de l'autre) et créent dans la zone comprise entre les plaques un champ électrique uniforme E :

Direction : perpendiculaire aux plaques.

Sens : de la plaque (+) vers la plaque (−).

Norme : E = (U)/(d) E en V·m⁻¹, U en V, d en m.

Conséquences pratiques À U fixée, plus d est petit, plus E est grand (on peut atteindre plusieurs MV·m⁻¹ dans un condensateur à plaques très proches). Et à d fixée, augmenter U augmente directement E.

Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme

Position du problème Une particule de charge q et de masse m est placée dans le champ électrique uniforme E d'un condensateur plan. On néglige son poids (la force électrique est plusieurs ordres de grandeur supérieure pour une particule chargée).

On choisit j colinéaire à E. Vitesse initiale v_0 dans le plan (Oxy), formant un angle α avec l'axe (Ox).

Application de la 2ᵉ loi Seule force agissant : la force électrique F_élec = q E. La 2ᵉ loi donne :

q E = m a a = (q)/(m) E Donc l'accélération est constante, de coordonnées :

a = pmatrix a_x = 0 \ a_y = (q E)/(m) \ a_z = 0 pmatrix

Si q > 0 : a dans le sens de E. Si q < 0 : sens opposé.

Équations horaires (après double intégration)

v(t) = pmatrix v_x(t) = v_0 α \ v_y(t) = (q E)/(m) t + v_0 α \ v_z(t) = 0 pmatrix OM(t) = pmatrix x(t) = v_0 α · t \ y(t) = (q E)/(2m) t^2 + v_0 α · t \ z(t) = 0 pmatrix

Équation de la trajectoire (en éliminant t) :

y(x) = (q E)/(2m (v_0 α)^2) x^2 + α · x C'est une parabole, tournée vers le haut si q > 0 (cas où la force est dans le sens de E ), vers le bas si q < 0.

Application : accélérateur linéaire de particules

Un accélérateur linéaire (LINAC) utilise un champ électrique uniforme pour augmenter la vitesse d'une particule chargée en ligne droite.

Principe On choisit la vitesse initiale de la particule dans la direction du champ ( α = 90^° dans notre repère), avec q > 0 et E bien orienté pour que la force accélère la particule. La trajectoire est alors une droite et :

v(t) = (q E)/(m) t + v_0 La valeur de la vitesse croît linéairement avec le temps : la particule est accélérée.

Exemples technologiques Accélérateurs médicaux (radiothérapie, imagerie par rayons X de haute énergie).

Contrôle non destructif dans l'industrie (inspection de soudures, bagages).

Physique fondamentale : injecteurs des grands accélérateurs circulaires (LHC, SPS), TRIUMF…

Aspect énergétique : Em, Ec, Ep

Trois énergies fondamentales Énergie cinétique (translation) : E_c = (1)/(2) m v^2, en joules (J).

Énergie potentielle de pesanteur : E_pp = m g h avec h l'altitude par rapport à une référence choisie (souvent le sol). En joules.

Énergie mécanique : E_m = E_c + E_p. C'est la somme cinétique + potentielle.

Conservation de Em : chute libre Pour un système soumis uniquement à son poids (chute libre, frottements négligés), l'énergie mécanique est conservée :

E_m(t) = E_c(t) + E_pp(t) = constante Concrètement, pendant la descente, l'altitude h diminue (donc Epp diminue) et la vitesse augmente (donc Ec augmente). Il y a conversion de Epp en Ec sans perte.

Exemple : vitesse à l'impact Une bille de masse m est lâchée sans vitesse initiale depuis une hauteur H. Par conservation de Em (entre le départ et l'impact au sol, avec référence Epp = 0 au sol) :

E_m^(départ) = E_m^(sol) 0 + m g H = (1)/(2)m v^2 + 0 v = √(2 g H)

Indépendant de la masse et résultat plus rapide à obtenir que par les équations horaires !

Théorème de l'énergie cinétique

Théorème de l'énergie cinétique Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un solide entre deux points A et B est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées entre ces deux positions :

Δ E_c = E_c(B) - E_c(A) = _i W_AB( F_i) Δ E_c = (1)/(2) m v_B^2 - (1)/(2) m v_A^2 Travail d'une force constante

Pour une force constante F dont le point d'application se déplace de A vers B :

W_AB( F) = F · AB = F × AB × θ W > 0 : travail moteur (force qui favorise le mouvement).

W < 0 : travail résistant (force qui s'oppose au mouvement).

W = 0 : la force est perpendiculaire au déplacement.

Travail du poids Pour un déplacement vertical de h : W( P) = m g h si la descente, et W( P) = -m g h si la montée. Le poids est une force conservative : son travail ne dépend que des altitudes de départ et d'arrivée, pas du chemin.

Application : vitesse d'une particule accélérée

Dans un accélérateur linéaire, une particule chargée de charge q est accélérée d'une plaque A à une plaque B, séparées d'une distance d et soumises à une différence de potentiel UAB.

Calcul de la vitesse acquise Le travail de la force électrique sur le trajet A → B est :

W_AB( F_élec) = q U_AB Avec UAB > 0 et q > 0 (ou les deux négatifs), W > 0 (force motrice). Le théorème de l'énergie cinétique donne, si la particule part du repos (vA = 0) :

Δ E_c = (1)/(2) m v_B^2 = q U_AB v_B = √((2 q U_AB)/(m))

L'équation-clé de toute la physique des accélérateurs.

Exemple : proton accéléré sous 1 kV Un proton ( m_p = 1,67 × 10^-27 kg, q = +e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C) est accéléré sous U_AB = 1,0 × 10^3 V :

v_B = √((2 × 1,6 × 10^-19 × 1,0 × 10^3)/(1,67 × 10^-27)) ≈ 4,4 × 10^5 m · s^-1

Soit ≈ 440 km·s⁻¹. C'est très rapide pour 1 kV seulement.

Ce qu'il faut retenir

Un champ uniforme est un champ de vecteur identique en tout point (direction, sens, norme).

Dans un champ de pesanteur uniforme, un système en chute libre a une accélération constante a = g.

Dans un champ électrique uniforme, une particule chargée subit a = (q)/(m) E. Dans un condensateur plan : E = U/d.

Méthode : (1) appliquer la 2ᵉ loi pour a ; (2) intégrer pour v avec C.I. ; (3) intégrer pour OM avec C.I. ; (4) éliminer t pour obtenir l'équation de la trajectoire y(x).

Pour un tir parabolique : flèche y_S = (v_0 α)^2/(2g) ; portée x_P = v_0^2 (2α)/g (maximale à α = 45^° ).

Théorème de l'énergie cinétique : Δ E_c = W( F). Pour un travail d'une force constante : W = F · AB.

Conservation de Em en chute libre : E_c + E_pp = cste. Vitesse à l'impact après chute libre depuis H : v = √(2 g H).

Accélérateur linéaire : pour q UAB > 0 : v_B = √(2 q U_AB/m).