Mouvement dans un champ de gravitation

1. Donner l'expression vectorielle de la force de gravitation exercée par un corps A à symétrie sphérique sur un corps B, puis du champ de gravitation créé par A en B.

2. Définir la base de Frenet et donner l' expression du vecteur accélération d'un point en mouvement curviligne quelconque dans cette base.

3. Montrer que pour une orbite circulaire dans un champ de gravitation, le mouvement est nécessairement uniforme.

4. Énoncer les trois lois de Kepler.

5. Donner les trois conditions qui définissent un satellite géostationnaire.

Données : $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻², $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, $R_T = 6{,}38 \times 10^{6}$ m.

1. Calculer la valeur du champ de pesanteur terrestre $g_0$ au niveau du sol.

2. Calculer la valeur du champ de pesanteur à l'altitude h = 100 km (ligne de Kármán, limite conventionnelle de l'espace).

3. Calculer la valeur du champ de pesanteur à l'altitude h = 36 000 km (orbite géostationnaire).

4. Commenter l'idée selon laquelle « il n' y a plus de gravité dans l'espace ».

On étudie le mouvement de la Lune (m_L = 7,35×10²² kg) autour de la Terre (M_T = 5,97×10²⁴ kg) dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. On suppose l'orbite circulaire de rayon r = 3,84×10⁵ km.

1. Faire un schéma : la Terre, la Lune sur son orbite, la base de Frenet en un point de l'orbite, et la force de gravitation exercée par la Terre sur la Lune.

2. Appliquer la 2ᵉ loi de Newton à la Lune et projeter sur la base de Frenet. Que peut-on dire de $a_t$ ? En déduire la nature du mouvement.

3. Établir l'expression de la vitesse orbitale de la Lune en fonction de G, M_T et r, puis calculer sa valeur numérique.

4. Cette valeur dépend-elle de la masse de la Lune ? Justifier.

Un satellite d'un système européen de navigation circule sur une orbite circulaire à l'altitude h = 23 222 km au-dessus de la surface terrestre.

Données : G = 6,67×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_T = 5,97×10²⁴ kg, R_T = 6,38×10³ km.

1. Calculer le rayon r de l'orbite et le convertir en mètres.

2. Établir l'expression littérale de la période T en fonction de G, M_T et r, puis calculer T en secondes et en heures.

3. En déduire le nombre de tours effectués par ce satellite en une journée.

4. Comparer avec la période d'un satellite géostationnaire (T_sid ≈ 23 h 56 min). Expliquer la différence.

On donne les caractéristiques de quatre planètes du système solaire (orbites considérées circulaires de rayon r) :

1. Pour chaque planète, calculer le rapport $T^{2}/r^{3}$ en s²·m⁻³.

2. Que constate-t-on ? Quelle loi de Kepler illustre-t-on ainsi ?

3. Sachant que $T^{2}/r^{3} = 4\pi^{2}/(G\,M_S)$, en déduire la masse du Soleil M_S. Comparer à la valeur tabulée M_S = 1,99×10³⁰ kg.

En 1610, Galilée découvre quatre satellites de Jupiter (Io, Europe, Ganymède, Callisto). Le tableau suivant en donne les caractéristiques orbitales (orbites supposées circulaires) :

1. Vérifier la 3ᵉ loi de Kepler pour ces quatre satellites en calculant $T^{2}/r^{3}$.

2. En déduire la masse M_J de Jupiter.

3. Calculer le rapport M_J/M_T avec M_T = 5,97×10²⁴ kg. Commenter.

Donnée : G = 6,67×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻².

Un satellite géostationnaire est utilisé pour la diffusion de chaînes de télévision en Europe. On veut déterminer son altitude.

Données : G = 6,67×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_T = 5,97×10²⁴ kg, R_T = 6,38×10⁶ m, jour sidéral T_sid = 86 164 s.

1. Rappeler les trois conditions caractérisant un satellite géostationnaire.

2. Établir l'expression littérale du rayon r_GEO de l'orbite géostationnaire en fonction de G, M_T et T_sid.

3. En déduire l'expression littérale puis la valeur numérique de l'altitude h_GEO = r_GEO − R_T.

4. Calculer la vitesse orbitale d'un satellite géostationnaire.

Une comète décrit une orbite très elliptique autour du Soleil. Son périhélie (point le plus proche du Soleil) est à r_p = 8,8×10¹⁰ m, son aphélie (point le plus éloigné) à r_a = 5,3×10¹² m. Sa vitesse au périhélie est mesurée à v_p = 5,5×10⁴ m·s⁻¹.

Données : G = 6,67×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_S = 1,99×10³⁰ kg.

1. Que vaut le demi-grand axe a de l'orbite ?

2. Sans calcul détaillé, dire si la vitesse à l'aphélie est plus grande, plus petite ou égale à v_p. Justifier en invoquant une loi de Kepler.

3. La conservation du moment cinétique impose $r_p\,v_p = r_a\,v_a$ (loi des aires en formulation vectorielle). En déduire la vitesse v_a à l'aphélie.

4. Utiliser la 3ᵉ loi de Kepler pour estimer la période de la comète. Convertir en années.