Mouvement dans un champ de gravitation

Mouvement dans un champ de gravitation

La Lune ne « tombe » pas sur la Terre, elle tombe sans cesse à côté. C'est exactement ce que fait la Station Spatiale Internationale à 410 km d'altitude, à 7,7 km·s⁻¹. Dans ce chapitre, on applique la deuxième loi de Newton à des systèmes en orbite, où le champ de gravitation n'est pas uniforme, contrairement au chapitre précédent. On termine par les trois lois empiriques de Kepler, démontrées par Newton presque un siècle plus tard.

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

écrire la force et le champ de gravitation créés par un astre à symétrie sphérique ;

appliquer la deuxième loi de Newton dans le repère de Frenet à un satellite en orbite circulaire ;

démontrer que circulaire ⇒ uniforme dans un champ gravitationnel ;

établir l'expression de la vitesse orbitale v = √(GM/r) ;

établir la période de révolution T = 2π√(r^3/(GM)) ;

énoncer et utiliser les trois lois de Kepler ;

déterminer la masse d'un astre via la 3ᵉ loi de Kepler ;

caractériser un satellite géostationnaire et calculer son altitude.

Pourquoi la Lune ne tombe-t-elle pas ?

La Lune est en chute libre vers la Terre : la seule force qui agit sur elle est la force de gravitation terrestre. Pourtant, elle ne s'écrase pas sur la surface, elle tourne autour de la Terre depuis ≈ 4,5 milliards d'années. Le mystère se dissipe quand on s'aperçoit que sa vitesse tangentielle est juste assez grande pour que sa trajectoire soit une orbite fermée.

Différence avec le chapitre précédent Dans le chapitre précédent (« champ uniforme »), le champ gravitationnel était traité comme constant ( g identique partout, près du sol). Ici, on étudie le mouvement à l'échelle d' un astre : la direction et l'intensité du champ varient avec la position. Ce n'est plus un mouvement parabolique mais un mouvement circulaire ou elliptique.

La question qui ouvre ce chapitre Comment relier les caractéristiques du mouvement d'un satellite ou d'une planète à la force de gravitation qu' il subit ? Et que disent les lois de Kepler ?

Force et champ de gravitation

Force de gravitation (rappel) Deux corps A et B à symétrie sphérique, de masses m_A et m_B, séparés d'une distance r entre leurs centres, exercent l'un sur l'autre une force attractive :

F_A/B = - G (m_A m_B)/(r^2) u_A → B G = 6,67 × 10^-11 N·m²·kg⁻² : constante de gravitation universelle.

u_A → B : vecteur unitaire dirigé de A vers B. Le signe « − » traduit le caractère attractif (force dirigée de B vers A).

3ᵉ loi de Newton : F_A/B = - F_B/A.

Champ de gravitation créé par A On factorise la force par m_B et on appelle champ de gravitation créé par A en un point P le vecteur :

g_A(P) = - G (m_A)/(r^2) u_A → P La force subie par un corps de masse m placé en P est alors F_A/m = m g_A(P), de la même façon que le poids s'écrit P = m g.

Direction : la droite (AP).

Sens : de P vers A (centripète, dirigé vers l'astre attracteur).

Norme : \| g_A(P)\| = G (m_A)/(r^2), décroît en 1/r^2.

À l'échelle de la Terre Le champ g n'est ni constant en direction, ni en intensité : il pointe vers le centre de la Terre, et son intensité diminue avec l'altitude. Le « champ uniforme » de l'étude des projectiles n'est qu'une approximation locale valable près du sol.

Rappel : base de Frenet pour mouvement curviligne

Lorsque la trajectoire d'un point M est courbe, il est commode d'associer à M un repère mobile qui suit le mouvement : la base de Frenet.

Base de Frenet (rappel) u_t : vecteur unitaire tangent à la trajectoire au point M, orienté dans le sens du mouvement.

u_n : vecteur unitaire normal, perpendiculaire à u_t et dirigé vers l'intérieur de la courbure (centripète).

Dans cette base, le vecteur vitesse et le vecteur accélération s'écrivent :

v = v u_t; a = (dv)/(dt) u_t + (v^2)/(R) u_n R est le rayon de courbure local ; a_t = dv/dt est l'accélération tangentielle (change la norme de la vitesse) ; a_n = v^2/R est l'accélération normale (change la direction).

Cas du mouvement circulaire Pour un cercle de rayon r, le rayon de courbure est constant et vaut r. La base de Frenet « tourne » avec M autour du centre du cercle. Si en plus le mouvement est uniforme (v = constante), alors a_t = 0 et l'accélération est purement centripète :

a = (v^2)/(r) u_n

Trajectoire circulaire ⇒ mouvement uniforme

On considère un satellite ou une planète P de masse m en orbite circulaire de rayon r autour d'un astre attracteur A de masse M, dans le référentiel astrocentrique (lié à A, axes vers étoiles lointaines) supposé galiléen.

Application de la 2ᵉ loi de Newton dans la base de Frenet Système : P (point matériel de masse m).

Référentiel : astrocentrique, supposé galiléen.

Bilan des forces : seule la gravitation exercée par A :

F_A/P = G (M m)/(r^2) u_n (centripète) 2ᵉ loi de Newton :

m a = G (M m)/(r^2) u_n a = G (M)/(r^2) u_n Identification avec a = a_t u_t + a_n u_n :

cases a_t = 0 \ a_n = G (M)/(r^2) cases Conséquence

a_t = (dv)/(dt) = 0 ⇒ v = constante. Le mouvement est uniforme.

Si la trajectoire d'un objet en orbite gravitationnelle est circulaire, alors son mouvement est nécessairement uniforme.

Vitesse orbitale

On vient d'établir a_n = G M/r^2. Or, par définition de l'accélération normale en mouvement circulaire, a_n = v^2/r. On en déduit :

Expression de la vitesse orbitale (v^2)/(r) = G (M)/(r^2) v = √((G M)/(r))

v en m·s⁻¹ ; M masse de l'astre attracteur en kg ; r rayon de l'orbite (distance entre les centres) en m.

La vitesse ne dépend pas de la masse m du satellite.

Plus le rayon r est grand, plus la vitesse orbitale est faible.

Vitesse de la Terre autour du Soleil On modélise l'orbite terrestre comme circulaire de rayon r_T = 1,50 × 10^11 m. Masse du Soleil M_S = 1,99 × 10^30 kg.

v = √((6,67 × 10^-11 × 1,99 × 10^30)/(1,50 × 10^11)) ≈ 2,97 × 10^4 m · s^-1 = 29,7 km · s^-1

Valeur tabulée : 29,8 km·s⁻¹. Excellent accord avec le modèle circulaire.

Période de révolution

Période T d'un astre en orbite circulaire La période de révolution T est la durée nécessaire pour effectuer un tour complet de l'astre attracteur. Le périmètre du cercle est L = 2π r, et la vitesse étant constante, on a v = L/T, soit :

T = (2π r)/(v) En remplaçant v = √(GM/r) :

T = (2π r)/(√(GM/r)) = 2π √((r^3)/(GM)) T = 2π √((r^3)/(GM))

T en s ; r en m ; M masse de l'astre attracteur en kg.

Conséquence directe : T^2 = (4π^2)/(GM) r^3, que l'on retrouvera comme 3ᵉ loi de Kepler.

Période d'un satellite de navigation Un satellite de navigation circule sur une orbite circulaire de rayon r = 2,32×10⁷ m autour de la Terre (MT = 5,97×10²⁴ kg).

T = 2π √(((2,32 × 10^7)^3)/(6,67 × 10^-11 × 5,97 × 10^24)) ≈ 3,53 × 10^4 s ≈ 9,8 h

Un tour complet en environ 9 h 49 min. Deux satellites passent au-dessus de la même région chaque jour.

1ʳᵉ loi de Kepler : loi des orbites

Première loi de Kepler Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de masse d'une planète est une ellipse dont le centre de masse du Soleil est l'un des foyers.

Vocabulaire d'une ellipse Une ellipse de foyers F et F' est l'ensemble des points M du plan tels que MF + MF' = 2a, où a est le demi-grand axe.

L'astre est situé au foyer F ; l'autre foyer F' est « vide ».

Le point le plus proche de F est appelé périastre (périhélie pour le Soleil, périgée pour la Terre).

Le point le plus éloigné est l'apoastre (aphélie pour le Soleil, apogée pour la Terre).

Cas particuliers Une orbite circulaire est une ellipse particulière dont les deux foyers sont confondus au centre du cercle, et le demi-grand axe a est alors le rayon r de l'orbite.

L'orbite terrestre est en réalité une ellipse peu aplatie (excentricité ≈ 0,017), avec aT ≈ 1,496×10¹¹ m. On la modélise habituellement comme circulaire en première approche.

2ᵉ loi de Kepler : loi des aires

Deuxième loi de Kepler Le segment de droite qui relie le centre du Soleil au centre de la planète (« rayon vecteur ») balaie des aires égales pendant des durées égales.

Conséquence sur la vitesse Pour balayer la même aire pendant la même durée alors que la distance au Soleil varie, la planète doit aller :

plus vite au périhélie (proche du Soleil) ; plus lentement à l'aphélie (loin du Soleil).

Exemple : la Terre va à 30,3 km·s⁻¹ à son périhélie (début janvier) et à 29,3 km·s⁻¹ à son aphélie (début juillet). Pour une orbite très elliptique comme celle de la comète de Halley, la vitesse varie d'un facteur ≈ 60.

Cas circulaire Pour une orbite circulaire, r est constant et la loi des aires est équivalente à dire que la vitesse v est constante. La 2ᵉ loi est donc compatible avec le résultat précédent (circulaire ⇒ uniforme), et le généralise au cas elliptique.

3ᵉ loi de Kepler : loi des périodes

Troisième loi de Kepler Le carré de la période de révolution T d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe a de son orbite :

(T^2)/(a^3) = K K est une constante commune à tous les corps en orbite autour du même astre attracteur, et qui ne dépend que de la masse M de cet astre.

Démonstration dans le cas circulaire On a montré T = 2π √(r^3/(GM)). En élevant au carré et en isolant :

(T^2)/(r^3) = (4π^2)/(G M) = K_circulaire La généralisation au cas elliptique (3ᵉ loi de Kepler, démontrée par Newton un siècle après) remplace simplement r par a, le demi-grand axe.

Vérification sur le système solaire Les six planètes connues de Kepler donnent toutes la même valeur (à 1 % près) de T^2/r^3 ≈ 3,0×10⁻¹⁹ s²·m⁻³, ce qui correspond bien à 4π^2/(G M_S) avec M_S = 1,99 × 10^30 kg.

Application : déterminer la masse d'un astre

La 3ᵉ loi de Kepler est un outil puissant pour peser les astres lointains : connaissant la période et le rayon d'orbite d'un satellite, on déduit la masse de l'astre attracteur.

Méthode Identifier le satellite et l'astre attracteur. Le satellite peut être une lune naturelle, une planète, ou un objet artificiel.

Mesurer (ou récupérer) la période T et le rayon r de l'orbite.

Appliquer la 3ᵉ loi : T^2/r^3 = 4π^2/(GM).

Isoler M : M = (4π^2 r^3)/(G T^2).

Masse de la Terre via l'orbite de la Lune Orbite de la Lune (quasi-circulaire) : r = 3,84×10⁵ km = 3,84×10⁸ m ; période T = 27,32 jours = 2,36×10⁶ s.

M_T = (4π^2 r^3)/(G T^2) = (4π^2 (3,84 × 10^8)^3)/(6,67 × 10^-11 × (2,36 × 10^6)^2) M_T ≈ 6,0 × 10^24 kg

Valeur tabulée : 5,97×10²⁴ kg. Excellent accord avec à peine deux mesures (T et r) ! C'est cette idée qui a permis aux astronomes de peser le Soleil, Jupiter, et plus tard les exoplanètes.

Le satellite géostationnaire

Satellite géostationnaire Un satellite est géostationnaire s'il vérifie simultanément trois conditions :

son orbite est circulaire ; son orbite est dans le plan équatorial de la Terre ;

sa période est égale à la période de rotation propre de la Terre (le jour sidéral T_sid ≈ 86 164 s ≈ 23 h 56 min 4 s).

Conséquence : un satellite géostationnaire reste en permanence à la verticale du même point de l'équateur (vu depuis le sol, il est fixe dans le ciel).

Pourquoi le jour sidéral et pas le jour solaire ?

Jour solaire (24 h 00 min) : durée entre deux passages successifs du Soleil à la verticale d'un méridien donné. Jour sidéral (23 h 56 min) : durée exacte d'un tour de la Terre sur elle-même par rapport aux étoiles lointaines. La différence vient du fait que la Terre avance aussi autour du Soleil pendant qu'elle tourne sur elle-même.

GEO vs GSO Ne pas confondre orbite géostationnaire (GEO, circulaire, équatoriale) et orbite géosynchrone (GSO, période identique mais pouvant être elliptique ou inclinée). Une GSO n'est pas immobile dans le ciel : elle dessine une « figure en huit » sur la voûte céleste.

Altitude d'un satellite géostationnaire

Calcul de l'altitude On note h l'altitude au-dessus de la surface terrestre, R_T = 6,38 × 10^6 m le rayon de la Terre, et r = RT + h le rayon de l'orbite. La 3ᵉ loi de Kepler donne :

(T_sid^2)/((R_T + h)^3) = (4π^2)/(G M_T) On isole h :

h = [3](G M_T T_sid^2)/(4π^2) - R_T Application numérique avec M_T = 5,97 × 10^24 kg, T_sid = 86 164 s :

h = [3](6,67 × 10^-11 × 5,97 × 10^24 × (86 164)^2)/(4π^2) - 6,38 × 10^6 h ≈ 4,22 × 10^7 - 6,38 × 10^6 ≈ 3,58 × 10^7 m ≈ 36 000 km Comparaison avec la Lune

La Lune est à ≈ 384 000 km, soit environ 10 fois plus loin que l'orbite géostationnaire. Sa période est de 27,3 jours, en accord avec la 3ᵉ loi appliquée à r ≈ 10 × rGEO : T ≈ (10)3/2 × Tsid ≈ 31,6 jours (l' écart résiduel vient de l'influence du Soleil et de l' ellipticité réelle de l'orbite lunaire).

Ce qu'il faut retenir

Force et champ de gravitation, F_A/B = -G m_A m_B/r^2 · u_AB ; g_A = -G m_A/r^2 · u, centripète, décroît en 1/r^2.

Mouvement circulaire ⇒ uniforme, dans un champ gravitationnel newtonien, une trajectoire circulaire impose a_t = 0, donc v constante.

Vitesse orbitale, v = √(GM/r) : ne dépend pas de la masse du satellite, mais décroît avec r.

Période de révolution, T = 2π√(r^3/(GM)) ⇒ T^2/r^3 = 4π^2/(GM).

Trois lois de Kepler, (1) orbites elliptiques de foyer Soleil ; (2) loi des aires (rayon vecteur balaie aires égales en temps égaux) ; (3) T^2/a^3 = K, K = 4π^2/(GM).

Peser un astre, avec T et r d'un satellite, on remonte à M = 4π^2 r^3/(G T^2). Méthode universelle, valable du système solaire aux exoplanètes.

Satellite géostationnaire, circulaire, équatorial, période = jour sidéral (86 164 s). Altitude ≈ 36 000 km. Fixe dans le ciel pour un observateur au sol.