Former des images : la lunette astronomique

1. Faire un schéma simple d'une lunette astronomique en nommant l'objectif L₁, l'oculaire L₂, leurs centres O₁ et O₂, et leurs foyers.

2. Définir une lunette afocale. Quelle relation lie alors F₁' et F₂ ?

3. Quel est l'intérêt pratique de l'afocalité pour l'observateur ?

4. Exprimer $\overline{O_1 O_2}$ en fonction de f₁' et f₂'.

5. Définir le diamètre apparent θ d'un astre et l'angle θ' à travers la lunette.

6. Donner l'expression du grossissement G en fonction de θ et θ', puis en fonction de f₁' et f₂'.

7. Que vaut l'ordre de grandeur du pouvoir séparateur de l'œil humain (en minutes d'arc et en radians) ?

8. Quelle est la différence fondamentale entre une lunette et un télescope ?

La lunette commerciale Sky-Watcher 70/700 est caractérisée par un objectif de diamètre D = 70 mm et de distance focale f₁' = 700 mm. Elle est livrée avec deux oculaires : un Super 25 mm (f₂' = 25 mm) et un Super 10 mm (f₃' = 10 mm).

1. Calculer le grossissement G obtenu avec chacun des oculaires.

2. Quelle est la longueur approximative du tube optique de cette lunette (en cm) ?

3. Calculer le nombre d'ouverture N = f₁'/D. À quel usage cette lunette est-elle adaptée (ciel profond, polyvalent, ou planétaire) ?

4. Pour observer Jupiter qui a un diamètre apparent de 47" (secondes d'arc), quel oculaire choisirais-tu et pourquoi ?

On souhaite construire une lunette astronomique afocale obtenant un grossissement G = 40. On dispose au laboratoire d'une lentille convergente de vergence C₁ = 2,0 δ pour l'objectif.

1. Calculer la distance focale f₁' de l'objectif.

2. En déduire la distance focale f₂' de l'oculaire à choisir.

3. Quelle est la vergence C₂ de cet oculaire ?

4. Calculer la longueur totale du tube optique (en cm).

La planète Mars peut atteindre un diamètre apparent maximal θ = 25,1" (secondes d'arc) lors d'une opposition favorable. L'œil humain a un pouvoir séparateur θ_œil = 0,016°. On observe Mars à travers une lunette astronomique d'objectif f₁' = 90 cm et d'oculaire f₂' = 20 mm.

Données : 1° = 3 600" ; 1 rad ≈ 57,3°.

1. Comment voit-on Mars à l'œil nu depuis la Terre ? Justifier par comparaison à θ_œil.

2. Calculer le grossissement G de la lunette.

3. Déterminer l'angle apparent θ' sous lequel on voit Mars à travers cette lunette. Exprimer le résultat en secondes d'arc puis en degrés.

4. Calculer la vergence C₁ de l'objectif et C₂ de l'oculaire.

Une lunette afocale est constituée d'un objectif L₁ de focale f₁' = 30 cm et d'un oculaire L₂ de focale f₂' = 3,0 cm. On observe un astre dont les rayons issus d'un point B à l'infini font un angle θ = 1,0° avec l'axe optique.

1. Faire un schéma à l'échelle 1/5 (1 cm sur la feuille = 5 cm en réalité) de la lunette afocale.

2. Construire géométriquement l'image intermédiaire A₁B₁ formée par l'objectif. Préciser sa position et son sens.

3. Calculer la taille A₁B₁ de l'image intermédiaire en utilisant $A_1B_1 = f_1' \cdot \tan\theta$.

4. Vérifier par le calcul que le grossissement vaut G = f₁'/f₂' = 10. En déduire θ'.

Le pouvoir séparateur d'une lunette (limite de résolution due à la diffraction par l'objectif de diamètre D) est donné par le critère de Rayleigh :

où λ est la longueur d'onde de la lumière observée (en moyenne λ = 550 nm pour le visible).

On considère trois lunettes commerciales :

• Lunette A : D = 60 mm, f₁' = 700 mm.
• Lunette B : D = 120 mm, f₁' = 900 mm.
• Lunette C : D = 200 mm, f₁' = 1 200 mm.

1. Calculer θ_lim pour chacune des trois lunettes. Exprimer le résultat en secondes d'arc (1 rad ≈ 206 265").

2. La lune Europe (satellite de Jupiter) est à 6,3×10⁸ km de la Terre et possède un diamètre Ø = 3 130 km. Calculer son diamètre apparent θ_E.

3. Avec quelle(s) lunette(s) Europe pourra-t-elle être résolue (vue comme un disque et non comme un point) ?

4. Calculer le nombre d'ouverture N de chaque lunette. Laquelle est la plus adaptée à l'observation planétaire ?

La longue-vue de Galilée (1609) utilisait un objectif convergent et un oculaire divergent (vergence négative). On admet alors la formule du grossissement (toujours $G = f_1'/|f_2'|$), mais sans inversion d'image.

Galilée disposait d'une lunette de f₁' = 1,30 m et f₂' = − 6,0 cm (lentille divergente). On observe la Lune (diamètre apparent θ_L = 31' = 31 minutes d'arc).

1. Calculer le grossissement de la lunette de Galilée.

2. Quel est le diamètre apparent θ'_L de la Lune à travers cette lunette ? Exprimer en degrés.

3. Une lunette astronomique moderne (oculaires convergents) avec f₁' = 70 cm et f₂' = 25 mm donne quel grossissement ? Quel θ'_L ?

4. Citer un avantage et un inconvénient majeurs de chacune des deux conceptions (Galilée vs Kepler).

Les anneaux de Saturne s'étendent jusqu'à un diamètre maximal d_A = 2,7×10⁵ km. La planète est située en moyenne à d_S = 1,3×10⁹ km de la Terre. On souhaite l'observer avec une lunette commerciale (Skywatcher Evostar 80 ED, D = 80 mm, f₁' = 600 mm).

On dispose de trois oculaires : (a) f_a = 32 mm ; (b) f_b = 12 mm ; (c) f_c = 5 mm.

Données : 1° = 3 600" ; 1 rad = 206 265". Pouvoir séparateur de l'œil θ_œil = 60". Critère de Rayleigh : θ_lim = 1,22 λ/D avec λ = 550 nm.

1. Calculer le diamètre apparent θ des anneaux de Saturne en secondes d'arc.

2. Comparer θ au pouvoir séparateur de l'œil θ_œil. Sont-ils discernables à l'œil nu ?

3. Calculer le grossissement G obtenu avec chacun des trois oculaires.

4. Calculer le pouvoir séparateur diffractif θ_lim de la lunette. Comparer à θ_œil/G pour chaque oculaire. Quel(s) oculaire(s) reste(nt) limité(s) par l'œil et lesquels par la diffraction ?

5. Pour l'observation détaillée des anneaux, quel oculaire recommandes-tu ? Justifier.

6. Calculer le nombre d'ouverture N de la lunette. Cohérent avec l'usage planétaire ?