Modéliser l'écoulement d'un fluide

1. Citer les quatre hypothèses du modèle du fluide parfait incompressible en régime permanent.

2. Donner l'expression vectorielle de la poussée d'Archimède. Préciser les unités.

3. Définir le débit volumique. Donner les deux expressions usuelles.

4. Énoncer la conservation du débit volumique et préciser son hypothèse de validité.

5. Énoncer la relation de Bernoulli. Préciser l'orientation de l'axe (Oz) et les unités.

6. Énoncer l'effet Venturi et donner un exemple d'application.

Une enceinte cubique rigide de côté 1,0 m est complètement immergée entre les profondeurs 20,0 m et 21,0 m dans un grand bassin d'eau douce (ρ = 1,00×10³ kg·m⁻³). La pression atmosphérique au-dessus du bassin vaut p_atm = 1013 hPa. On prend g = 9,81 N·kg⁻¹.

1. Calculer la pression à 20,0 m de profondeur, puis à 21,0 m de profondeur.

2. En déduire la valeur de la force F₂₀ exercée par l'eau sur la paroi supérieure de l'enceinte (1,0 m × 1,0 m), et celle de F₂₁ sur la paroi inférieure.

3. Calculer la résultante de F₂₀ et F₂₁ (préciser direction et sens). Que vaut la résultante des forces pressantes sur les 4 parois latérales ?

4. Comparer la résultante totale des forces de pression à la poussée d'Archimède calculée directement par $\Pi = \rho_{\text{eau}}\,V\,g$. Conclure.

Un iceberg flotte en équilibre dans l'eau de mer (ρ_mer = 1,025×10³ kg·m⁻³). La masse volumique de la glace d'eau pure vaut ρ_glace = 0,917×10³ kg·m⁻³.

1. Faire l'inventaire des forces qui s'exercent sur l'iceberg en équilibre. En déduire une relation entre poids et poussée.

2. Soient V_total le volume total de l'iceberg et V_immergé son volume sous la surface. Établir une expression du rapport V_immergé/V_total en fonction de ρ_mer et ρ_glace.

3. Calculer cette fraction. Commenter avec l'expression « la partie émergée d'un iceberg ».

Une conduite cylindrique d'eau a un rayon R₁ = 20,0 cm en entrée et R₂ = 5,0 cm en sortie. Le débit en entrée est mesuré à 370 dm³·s⁻¹.

1. Justifier que le débit en sortie est aussi de 370 dm³·s⁻¹. Quelle hypothèse fait-on sur le fluide ?

2. Calculer la vitesse v₁ de l'eau dans la portion de rayon R₁.

3. En déduire la vitesse v₂ dans la portion de rayon R₂.

4. Déterminer la durée nécessaire à cette conduite pour remplir un bassin de 500 m³.

Un réservoir cylindrique de section S = 0,50 m² est rempli d'eau jusqu'à une hauteur H = 2,5 m au-dessus de sa base. On perce un petit trou de section s = 1,0 cm² à la base. On suppose s ≪ S.

Données : ρ_eau = 1,00×10³ kg·m⁻³ ; p_atm = 1013 hPa ; g = 9,81 N·kg⁻¹.

1. Choisir deux points pertinents A et B sur une même ligne de courant, et préciser pour chacun : altitude z, pression p, vitesse v.

2. Justifier l'approximation v_A ≈ 0.

3. Appliquer la relation de Bernoulli et en déduire la vitesse v_B du jet d'eau en sortie du trou.

4. Calculer numériquement v_B. Quel débit volumique est-ce que cela représente ?

5. Comparer v_B à la vitesse qu' aurait acquise une bille tombant en chute libre depuis H. Commenter.

Un écoulement laminaire d'eau (ρ = 1,00×10³ kg·m⁻³) circule dans une conduite horizontale dont la section varie. En A, le rayon est R_A = 7,0 cm ; en B, R_B = 4,7 cm. La vitesse en A vaut v_A = 5,0 m·s⁻¹. Deux tubes verticaux ouverts (« manomètres ») sont branchés en A et B.

1. Calculer la vitesse v_B de l'eau en B.

2. Justifier que la pression en A vaut $p_A = \rho g h_A + p_{\text{atm}}$, où h_A est la hauteur d'eau dans le tube vertical au-dessus de A.

3. En déduire l'expression de la différence de pression Δp = p_B − p_A en fonction de ρ, g et de Δh = h_B − h_A.

4. Appliquer la relation de Bernoulli entre A et B pour exprimer Δp en fonction de v_A et v_B.

5. En déduire la différence de niveau Δh = h_A − h_B entre les deux tubes verticaux. Quel est le tube le plus haut ?

Une aile d'avion de longueur L = 8,0 m et de largeur (corde) d = 2,50 m se déplace dans l'air à v = 100 m·s⁻¹. Dans le référentiel de l'aile, l'air est immobile loin de l'aile et entre avec la vitesse v = 100 m·s⁻¹.

Données : ρ_air = 1,0 kg·m⁻³ ; p₀ = 1,0×10⁵ Pa. On néglige la pesanteur sur l'air. Sous l'aile, l'air longe l'intrados à vitesse v et pression p₀. Au-dessus, à hauteur de la zone étudiée, la section du « tube de courant » se rétrécit d' un facteur 5 (extrados bombé).

1. Calculer la vitesse v_D de l'air au-dessus de l'aile (extrados) par conservation du débit.

2. En déduire la pression p_D au-dessus de l'aile par la relation de Bernoulli.

3. Calculer la différence de pression intrados-extrados et la force pressante résultante exercée par l'air sur l'aile (on prendra la surface de l'aile S ≈ L × d).

4. Vérifier que la somme des forces de portance sur les deux ailes peut soutenir un avion de masse m = 15 tonnes.

Le sang (ρ_sang = 1,06×10³ kg·m⁻³) circule dans une artère de diamètre d_A = 1,0 cm à la vitesse v_A = 20 cm·s⁻¹. On considère le patient allongé (z constant), donc la pesanteur disparaît de la relation de Bernoulli. La tension artérielle est définie comme la différence p − p_atm. Juste avant un rétrécissement (zone R) dû à une plaque d'athérome, la tension artérielle mesurée vaut T_A = 16 kPa.

1. Calculer le débit volumique sanguin D_v dans l'artère saine.

2. Au niveau du rétrécissement, exprimer la vitesse v_R en fonction de v_A et du rapport des sections.

3. Appliquer la relation de Bernoulli entre A (artère saine) et R (zone rétrécie) pour exprimer la tension T_R dans la zone rétrécie en fonction de T_A, ρ_sang, v_A et v_R.

4. En déduire le diamètre critique d_crit tel que T_R = 0 (la tension chute à zéro, l'artère se referme momentanément).

5. Expliquer pourquoi un médecin peut détecter une athérosclérose avancée au stéthoscope.