Modéliser l'écoulement d'un fluide

Modéliser l'écoulement d'un fluide

Le sang circule dans les artères, l'air s'écoule au-dessus d'une aile d'avion, l'eau jaillit d'un robinet : tous ces phénomènes obéissent à un petit nombre de lois étonnamment puissantes. Sous l'hypothèse d'un fluide parfait (incompressible, non visqueux, en régime permanent), Bernoulli et Venturi expliquent en quelques équations pourquoi un avion vole, pourquoi une sténose artérielle est dangereuse, et pourquoi le sous-marin remonte avec des ballasts vides.

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

distinguer un fluide au repos d'un fluide en écoulement ;

citer les hypothèses du fluide parfait incompressible en régime permanent ;

utiliser l'expression vectorielle de la poussée d'Archimède ;

définir et exploiter le débit volumique D_v = S · v ;

appliquer la conservation du débit volumique dans une conduite ;

exploiter la relation de Bernoulli pour calculer pression, vitesse ou dénivellation ;

expliquer l'effet Venturi et ses applications.

Trois questions, une même physique

Trois situations apparemment sans rapport posent en réalité la même question scientifique :

Trois énigmes pour ouvrir le chapitre L'avion qui vole. Pourquoi l'air, en contournant une aile, parvient-il à soulever plusieurs tonnes de métal ?

L'artère bouchée. Quand une plaque d'athérome rétrécit une artère, pourquoi la pression diminue-t-elle dans la zone du rétrécissement, pouvant aller jusqu'à fermer momentanément le vaisseau ?

Le sous-marin qui plonge. Comment un sous-marin de plusieurs centaines de tonnes peut-il, à volonté, plonger ou remonter en remplissant ou vidant simplement ses ballasts ?

La question qui ouvre ce chapitre Comment modéliser le comportement mécanique d'un fluide en écoulement permanent et incompressible ?

Rappels : force pressante et statique des fluides

Force pressante Lorsqu'un fluide est en contact avec une paroi, les molécules en mouvement la percutent et exercent une force pressante F :

direction : perpendiculaire à la paroi ; sens : dirigé vers la paroi (vers le solide) ;

norme : F = p · S, où p est la pression et S l'aire de la surface (m²).

Pression p p = (F)/(S) p en pascals (Pa) ; F en newtons (N) ; S en mètres carrés (m²).

Unités usuelles : 1 hPa = 10² Pa ; 1 bar = 10⁵ Pa ; 1 atm = 1,013×10⁵ Pa = 1013 hPa ; 1 mmHg ≈ 133,3 Pa.

Loi fondamentale de la statique des fluides (rappel 1ʳᵉ spé)

Dans un fluide au repos, incompressible et homogène, de masse volumique ρ, la différence de pression entre deux points A (bas) et B (haut), séparés par une dénivellation h = zB − zA :

p_A - p_B = ρ g h ρ en kg·m⁻³ ; g en N·kg⁻¹ ; h en m ; les pressions en Pa.

Conséquence : la pression augmente quand l'altitude diminue (plus on plonge, plus la pression est forte).

Poussée d'Archimède

Énoncé d'Archimède (≈ 250 av. J.-C.) Tout corps de volume V immergé (totalement ou partiellement) dans un fluide au repos subit une force, appelée poussée d'Archimède \vec{\Pi}

, dirigée verticalement vers le haut et de norme égale au poids du volume de fluide déplacé :

= - _fluide V_immergé g Π en N ; ρfluide en kg·m⁻³ ; Vimmergé en m³ ; g en N·kg⁻¹.

Le signe « − » traduit que \vec{\Pi} est opposé à g (poussée vers le haut).

Point d'application : le centre de poussée C, centre de masse du volume de fluide déplacé.

Origine physique La poussée n'est pas un postulat mystérieux. Elle vient de la statique des fluides : la pression augmente avec la profondeur, donc la pression appliquée sur la face inférieure d'un objet immergé est plus grande que celle sur sa face supérieure. La résultante de ces forces pressantes est dirigée vers le haut.

Démonstration pour un cylindre vertical de hauteur h, section S, volume V = S·h, plongé dans un fluide de masse volumique ρ :

F_1 + F_2 = (p_1 - p_2) S k = ρ g h S k = ρ V g k = -ρ V g Anecdote : la couronne d'Hiéron

« Eurêka ! », l'histoire raconte qu'Archimède aurait trouvé sa loi dans son bain, en cherchant comment vérifier que la couronne du tyran Hiéron II était en or pur. La méthode : peser la couronne dans l'air, puis dans l'eau. La perte de poids apparente P - P_a donne directement = _eau V g, donc le volume V de la couronne, et par comparaison avec sa masse, sa masse volumique : test infaillible.

Modèle du fluide parfait incompressible

L'étude exhaustive d'un fluide en mouvement est extrêmement complexe (équations de Navier-Stokes). Le programme de Terminale impose donc un modèle simplifié qui capture l'essentiel des phénomènes.

Quatre hypothèses simplificatrices Fluide parfait, viscosité η nulle : aucune force de frottement interne, aucune perte d'énergie par échauffement.

Fluide incompressible et homogène, masse volumique ρ constante en tout point. Valable pour les liquides ; approximation correcte pour les gaz tant que la vitesse reste bien inférieure à la vitesse du son.

Écoulement non tourbillonnaire, on néglige tout mouvement local de rotation interne (régime laminaire).

Régime permanent (stationnaire), en tout point du fluide, la vitesse et la pression sont indépendantes du temps. Le champ de vitesse ne change pas, mais les particules elles-mêmes se déplacent.

Laminaire vs turbulent Écoulement laminaire : les particules suivent des « lignes de courant » bien ordonnées et parallèles. La fumée d'une bougie au calme commence laminaire.

Écoulement turbulent : tourbillons, mélange chaotique. Le même filet de fumée devient turbulent dès qu'on souffle dessus.

La transition entre les deux régimes est quantifiée par le nombre de Reynolds Re = ρvL/η (hors programme). L'hypothèse « écoulement laminaire » correspond à Re petit.

Débit volumique et vitesse d'écoulement

Définition du débit volumique Le débit volumique Dv est le volume de fluide qui traverse une section droite d'une conduite par unité de temps :

D_v = (V)/(Δ t) Dv en m³·s⁻¹ ; V en m³ ; Δt en s.

Unités usuelles : 1 L·s⁻¹ = 1 dm³·s⁻¹ = 10⁻³ m³·s⁻¹ ; 1 L·min⁻¹ ≈ 1,67×10⁻⁵ m³·s⁻¹.

Relation entre Dv, section S et vitesse v Le fluide qui traverse une section S de la conduite à la vitesse v parcourt en un temps Δt une longueur ℓ = v·Δt. Le volume correspondant est V = S·ℓ = S·v·Δt. Donc :

D_v = S v Dv en m³·s⁻¹ ; S en m² ; v en m·s⁻¹.

S est la section perpendiculaire à la direction d'écoulement.

Cœur humain au repos Au repos, le cœur pompe en moyenne 5,0 L de sang par minute. On en déduit son débit volumique :

D_v = (5,0 × 10^-3)/(60) ≈ 8,3 × 10^-5 m^3 · s^-1

Soit ≈ 83 mL·s⁻¹. À l'effort, ce débit peut être multiplié par 5.

Conservation du débit volumique

Loi de conservation Dans une conduite parcourue par un fluide incompressible en régime permanent, le débit volumique est identique en tout point de la conduite, même si la section change :

D_v = S_A v_A = S_B v_B = constante Justification physique

Pendant la même durée Δt, le volume VA de fluide entrant par la section A doit être égal au volume VB sortant par B (sinon le fluide s'accumulerait ou disparaîtrait, impossible pour un incompressible en régime permanent).

Conséquence pratique : si la section diminue, la vitesse augmente.

Tuyau d'arrosage pincé On pince l'extrémité d'un tuyau d'arrosage : la section Ssortie diminue, donc vsortie augmente, et l'eau jaillit plus loin.

Quantitativement, si on divise la section par 4 (rayon ÷ 2), alors la vitesse est multipliée par 4.

La relation de Bernoulli

Daniel Bernoulli (1700–1782), médecin, mathématicien et physicien suisse, publie en 1738 son Hydrodynamica dans lequel il établit la relation qui porte son nom. Elle exprime la conservation de l'énergie par unité de volume le long d'une ligne de courant.

Relation de Bernoulli Pour un fluide parfait incompressible en écoulement permanent dans un champ de pesanteur uniforme, le long d'une ligne de courant :

(1)/(2) ρ v^2 + ρ g z + p = constante Entre deux points A et B sur la même ligne de courant :

(1)/(2) ρ v_A^2 + ρ g z_A + p_A = (1)/(2) ρ v_B^2 + ρ g z_B + p_B

p en Pa ; ρ en kg·m⁻³ ; v en m·s⁻¹ ; g en N·kg⁻¹ ; z en m (axe vertical orienté vers le haut).

(1)/(2)ρ v^2 : énergie cinétique volumique (Pa).

ρ g z : énergie potentielle de pesanteur volumique (Pa).

p : pression (« énergie de pression » volumique).

Cas particulier : fluide au repos Si vA = vB = 0, on retrouve la loi fondamentale de la statique des fluides :

ρ g z_A + p_A = ρ g z_B + p_B p_A - p_B = ρ g (z_B - z_A)

La statique des fluides est donc un cas particulier de la dynamique des fluides.

Application : formule de Torricelli

Soit un réservoir cylindrique de grande section S, rempli d' eau jusqu'à la hauteur H au-dessus d'un petit trou de section s << S percé latéralement (cf. schéma). Avec quelle vitesse l'eau s'échappe-t-elle ?

Démarche en 4 étapes Choix des points. A : surface libre dans le réservoir, zA = H, pA = patm, vA ≈ 0 (grand réservoir, descente lente).

Choix du second point. B : juste à la sortie du trou, zB = 0, pB = patm (l'eau débouche à l'air libre).

Bernoulli A → B : ρ g H + p_atm = (1)/(2) ρ v_B^2 + p_atm

Résolution. On simplifie patm de chaque côté, on divise par ρ : v_B = √(2 g H) Application numérique

Pour H = 10 m, vB = √(2 × 9,81 × 10) ≈ 14 m·s⁻¹, soit ≈ 50 km·h⁻¹. C'est la même vitesse qu'aurait atteinte une bille tombant en chute libre depuis la même hauteur, résultat remarquable, dû à Torricelli (1644).

L'effet Venturi

Giovanni Battista Venturi (1746–1822) découvre en 1796 l' effet qui porte son nom : dans un écoulement horizontal, la pression diminue là où la vitesse augmente.

Démonstration On considère un fluide qui circule horizontalement (zA = zB) dans une conduite dont la section diminue de A vers B. La relation de Bernoulli s'écrit :

(1)/(2) ρ v_A^2 + p_A = (1)/(2) ρ v_B^2 + p_B

La conservation du débit SAvA = SBvB et SB < SA imposent vB > vA. Donc :

p_B - p_A = (1)/(2) ρ (v_A^2 - v_B^2) < 0 ⇒ pB < pA : la pression chute là où le tuyau se rétrécit.

Énoncé synthétique Le long d'un écoulement horizontal et permanent d'un fluide incompressible parfait, la vitesse augmente et la pression diminue lorsque l'aire de la section diminue.

Applications de l'effet Venturi

Portance d'une aile d'avion La courbure de l'extrados (dessus de l'aile) force l'air à parcourir un chemin plus long et plus rapide. L'intrados (dessous) est presque rectiligne, l'air y reste plus lent.

Bilan : p_extrados < p_intrados, la résultante des forces pressantes est dirigée vers le haut. C'est la portance, qui maintient l'avion en l'air.

Sténose artérielle Dans une artère partiellement bouchée, le sang accélère au passage rétréci. La pression locale chute.

Si la chute de pression est forte, l'artère peut se refermer momentanément. L'afflux suivant la rouvre, créant une palpitation audible au stéthoscope, signature acoustique d'une athérosclérose avancée.

Poire à parfum L'air pulsé par la poire passe au-dessus d'un petit tube plongeant dans le parfum. Sa vitesse augmente dans le tube fin → pression chute → le parfum est aspiré vers le haut puis pulvérisé en gouttelettes.

Effet Magnus Une balle qui tourne en se déplaçant entraîne l'air sur un côté (vitesse relative plus grande) et le freine de l'autre (vitesse relative plus faible). D'où une différence de pression latérale, et une trajectoire qui s'incurve : c'est la « lifte » au tennis, le coup franc tournant au football, ou la balle « brossée » au ping-pong.

Ce qu'il faut retenir

Hypothèses du fluide parfait incompressible, viscosité η = 0 ; ρ = constante ; écoulement laminaire ; régime permanent (v et p indépendants du temps).

Poussée d'Archimède, = - _fluide V_immergé g, dirigée vers le haut, de norme égale au poids du volume de fluide déplacé.

Débit volumique, D_v = V/Δ t = S v, en m³·s⁻¹.

Conservation du débit, S_A v_A = S_B v_B. Si la section diminue, la vitesse augmente.

Relation de Bernoulli, (1)/(2)ρ v^2 + ρ g z + p = cste sur une ligne de courant ; conservation de l'énergie volumique. La statique des fluides en est le cas v = 0.

Effet Venturi, dans un écoulement horizontal, la pression chute là où la section se rétrécit (et la vitesse augmente). À l'origine de la portance, de la sténose, de la poire à parfum, du Magnus.

Méthode Bernoulli en 4 étapes, (1) choisir 2 points sur la même ligne de courant ; (2) identifier z, v, p de chacun ; (3) écrire Bernoulli ; (4) résoudre.