Étudier la dynamique d'un système électrique : le dipôle RC

1. Définir l'intensité électrique en régime variable. Donner sa relation avec la charge q(t).

2. Donner la constitution d'un condensateur et sa représentation symbolique dans un circuit.

3. Énoncer la relation liant la charge q_A d'un condensateur à la tension u_C à ses bornes. Préciser les unités.

4. En déduire la relation entre l'intensité i(t) du courant dans la branche du condensateur et la tension u_C(t).

5. Donner l'expression littérale de la capacité d'un condensateur plan.

6. Établir l'équation différentielle vérifiée par u_C(t) lors de la charge d'un dipôle RC série.

7. Donner la solution u_C(t) de la charge avec les CI u_C(0) = 0. Donner la solution de la décharge avec u_C(0) = E.

8. Définir le temps caractéristique τ et donner les deux méthodes graphiques pour le déterminer.

On réalise un condensateur en accolant deux feuilles d'aluminium rectangulaires de longueur L = 1,2 m et de largeur ℓ = 8,0 cm. Elles sont séparées par une feuille de papier paraffiné d'épaisseur d = 50 µm et de permittivité relative ε_r = 4,0.

Données : ε₀ = 8,85×10⁻¹² F·m⁻¹.

1. Calculer la surface S d'une armature en m².

2. Calculer la capacité C de ce condensateur (en nF puis en µF).

3. Si on plie le sandwich pour le rendre cylindrique (sans changer S, d ni ε_r), la capacité change-t-elle ?

4. Que devient C si on remplace le papier paraffiné par un film mince de TiO₂ (ε_r = 85), à épaisseur identique ?

On considère le circuit suivant : une source idéale de f.é.m. E = 6,0 V, un conducteur ohmique R = 1,0 kΩ, un condensateur C = 470 µF, et un interrupteur K. Le condensateur est initialement déchargé. À t = 0, on ferme K.

1. Établir l'équation différentielle vérifiée par u_C(t) en utilisant les lois des mailles et d'Ohm.

2. Vérifier par substitution directe que $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ est solution de l'équation différentielle avec $\tau = RC$.

3. Calculer τ. Que vaut u_C à t = τ ? À t = 2τ ? À t = 5τ ?

4. Donner l'expression de i(t) et de u_R(t) pendant la charge. Représenter l'allure de ces trois grandeurs sur le même graphe.

Un condensateur, chargé sous E = 10 V, est connecté à t = 0 à un conducteur ohmique de résistance R = 2,7 kΩ. On enregistre u_C(t) avec un oscilloscope. La courbe décroît exponentiellement. Les mesures donnent :

1. Quelle est la forme théorique de u_C(t) lors d'une décharge ?

2. Utiliser la méthode des 37 % pour déterminer τ.

3. En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.

4. Vérifier la cohérence avec la valeur de u_C à t = 2τ (théorie : 0,135 · E).

Un condensateur C = 220 µF est chargé via une résistance R = 10 kΩ par une source E = 12 V. Initialement u_C(0) = 0.

Données : énergie stockée dans un condensateur : $E_{\text{cond}} = \dfrac{1}{2} C\,u_C^2$.

1. Calculer τ = RC. Représenter sur un même graphique l'allure de u_C(t) et de u_R(t) entre t = 0 et t = 5τ.

2. Calculer le temps t_1/2 nécessaire pour que u_C atteigne la moitié de E. Exprimer t_1/2 en fonction de τ.

3. Calculer la charge finale q_∞ stockée sur l'armature positive.

4. Calculer l'énergie finale stockée dans le condensateur.

5. En physique, on démontre que l'énergie totale fournie par la source pendant la charge vaut E · q_∞. Comparer cette énergie à celle stockée dans C. Conclure sur le rendement du processus de charge à travers R.

Un microcontrôleur Arduino mesure la tension u_C aux bornes d'un condensateur de capacité inconnue via son convertisseur analogique-numérique (échantillonnage à 1 kHz). Le condensateur est chargé via R = 4,7 kΩ par une tension de référence E = 5,0 V.

On constate dans le code Python d'analyse que u_C atteint la valeur 3,15 V au bout de t = 47 ms.

1. Vérifier que 3,15 V correspond à 63 % de E. Quelle conclusion peut-on en tirer sur t = 47 ms ?

2. En déduire la capacité C du condensateur (en µF, 2 chiffres significatifs).

3. Combien de temps faut-il attendre pour que le condensateur soit chargé à 99,3 % de E ?

4. Cette technique sert à calibrer en série un capteur capacitif : on mesure τ et on remonte à C. Si C augmente de 10 %, de combien augmente τ ?

Un capteur de niveau capacitif est constitué de deux armatures rectangulaires verticales de hauteur totale H = 1,0 m et de largeur ℓ = 5,0 cm, séparées d'une distance d = 2,0 mm. Lorsque la cuve est vide, le milieu entre les armatures est l'air (ε_r = 1). Lorsqu'elle se remplit de gasoil (ε_r = 2,1), seule la hauteur immergée x voit son isolant changer.

Données : ε₀ = 8,85×10⁻¹² F·m⁻¹. La capacité totale est la somme des capacités air + liquide (associées en parallèle).

1. Calculer la capacité C₀ du capteur quand la cuve est totalement vide.

2. Établir l'expression de la capacité C(x) en fonction de x (hauteur d'immersion).

3. Calculer C(x) à x = 0 m, x = 0,50 m et x = 1,0 m.

4. Le capteur fait partie d'un circuit RC avec R = 10 MΩ. Quelle plage de τ obtient-on entre cuve vide et cuve pleine ?

5. Quel est l'avantage de ce capteur par rapport à un flotteur mécanique ?

Le flash électronique d'un appareil photo fonctionne ainsi : un condensateur de grande capacité C = 470 µF est chargé en quelques secondes par une électronique l'amenant à U₀ = 300 V. Au déclenchement, ce condensateur se décharge rapidement à travers le tube xénon (modélisé par une résistance équivalente R = 2,0 Ω pendant la décharge), produisant une brève éclair.

Données : énergie stockée $W = \tfrac{1}{2}C u_C^2$. Énergie d'un éclair pleine puissance : ≈ 20 J.

1. Calculer l'énergie stockée dans le condensateur juste avant le déclenchement.

2. Calculer le temps caractéristique τ_décharge = RC. Combien de temps dure l'essentiel de la décharge (5τ) ?

3. Donner l'expression de u_C(t) pendant la décharge, et celle de i(t). Calculer l'intensité de pointe i(0) au début de la décharge.

4. Calculer la puissance moyenne dissipée pendant l'éclair $P_{\text{moy}} = W / (5\tau)$. Commenter la valeur.

5. Entre deux éclairs, le condensateur doit se recharger via une résistance interne R_charge = 1,0 kΩ et une tension régulée 300 V. Combien de temps faut-il attendre entre deux flashs (à 99 % de charge) ?

6. Comparer le temps de charge et le temps de décharge. Justifier la conception (résistance de décharge faible, résistance de charge grande).