Étudier la dynamique d'un système électrique : le dipôle RC

Étudier la dynamique d'un système électrique : le dipôle RC

Quand tu effleures l'écran de ton téléphone, c'est un condensateur qui détecte ton doigt. Quand l'airbag de la voiture se déclenche en 30 ms, c'est un MEMS capacitif qui a mesuré la décélération. Quand le thermostat règle la cuisson du four, c'est encore une charge / décharge de condensateur qui sert d'horloge. Tous ces dispositifs reposent sur la même physique : un dipôle RC dont la réponse temporelle obéit à une équation différentielle linéaire d'ordre 1.

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

exprimer l'intensité comme débit de charges : i = dq/dt ;

caractériser un condensateur par sa capacité C et la relation q = C · u_C ;

établir et résoudre l'équation différentielle de la charge et de la décharge ;

identifier le temps caractéristique = R C graphiquement et par calcul ;

déterminer expérimentalement τ par tangente à l'origine ou méthode des 63 % ;

décrire le principe de quelques capteurs capacitifs (tactile, niveau, MEMS).

Trois objets connectés et un point commun

Le condensateur, partout dans la vie quotidienne

Écran tactile : ton doigt forme une seconde armature avec une grille conductrice de l' écran. Le système détecte une variation de capacité à l'endroit de l'effleurement.

Capteur d'accélération MEMS (smartphone, airbag) : une masse minuscule entre deux armatures se déplace lors d'une accélération → la distance d change → C change → mesure de l'accélération.

Thérémine (Léon Theremin, 1928) : ta main forme une armature avec une antenne. Plus tu approches, plus C augmente, plus la fréquence de l'oscillateur baisse. Tu joues sans toucher l'instrument.

La question qui ouvre ce chapitre Qu'est-ce qu'un condensateur ? Comment se charge-t-il et se décharge-t-il dans un circuit ? Quelle équation décrit cette dynamique, et qu'est-ce qui fixe le temps que cela prend ?

Rappels : intensité et tension en régime variable

Intensité du courant L'intensité électrique est le débit de charges traversant une section d'un conducteur. En régime variable, on note les grandeurs en minuscules :

i(t) = (dq(t))/(dt) i en ampères (A), q en coulombs (C), t en secondes (s).

1 A = 1 C·s⁻¹ = 6,24×10¹⁸ électrons par seconde.

L'intensité est algébrique : son signe dépend du sens de circulation choisi.

Tension électrique La tension uAB entre deux points A et B est la différence de potentiel :

u_AB(t) = V_A(t) - V_B(t), u_AB = -u_BA u en volts (V). En régime continu, on note la tension en majuscule (U) ; en régime variable, en minuscule (u).

Régime continu Les grandeurs (U, I, P...) sont constantes dans le temps. C'est le régime des piles, des alimentations DC.

Régime variable Les grandeurs dépendent du temps : u(t), i(t). C'est le régime des transitoires, du secteur alternatif, des capteurs.

Le condensateur : armatures et diélectrique

Constitution Un condensateur est constitué de :

deux armatures conductrices (plaques métalliques) placées face à face ;

un diélectrique (isolant) entre les deux armatures : vide, air, papier, céramique, oxyde d'aluminium...

Symbole dans un circuit : ─┤├─ Comportement capacitif

Quand on relie un condensateur à un générateur, les charges s'accumulent sur les armatures :

Les électrons arrivent sur l'armature B et s'y entassent (face cathode) : q_B < 0.

L'armature A perd autant d'électrons : q_A > 0 avec q_A = -q_B.

Le condensateur reste électriquement neutre à tout instant (charge totale nulle).

Un champ électrique apparaît entre les deux armatures.

Le claquage diélectrique Si la tension dépasse une valeur seuil (tension de claquage), l'isolant ne tient plus : les charges passent, le condensateur est détruit. C'est aussi ce qui se passe entre un nuage chargé et le sol : l'air claque et un éclair se forme.

Capacité C et géométrie du condensateur

Capacité C La capacité C caractérise l'aptitude d'un condensateur à accumuler des charges sous une tension donnée. Unité : le farad (F), du nom de Michael Faraday.

1 F = 1 C·V⁻¹. Énorme : la plupart des condensateurs ont une capacité de l'ordre du nF (10⁻⁹ F) ou du µF (10⁻⁶ F).

Supercondensateurs : ≈ 100 F (réseau électrique, démarrage automobile).

Géométrie d'un condensateur plan Pour un condensateur formé de deux armatures planes parallèles de surface S, séparées d'une distance d :

C = ( _0 _r S)/(d) S en m² ; d en m.

Permittivité du vide : _0 = 8,85 × 10^-12 F·m⁻¹.

Permittivité relative εr (sans unité) caractérise l'isolant : vide (1), papier (4), eau pure (80), TiO₂ (85).

Conséquences :

Augmenter S → C augmente (armatures plus larges, plus de place pour les charges).

Diminuer d → C augmente (champ plus intense pour la même tension).

Utiliser un isolant à εr élevé → C augmente (la matière "aide" le condensateur).

Ordres de grandeur usuels Céramique : 1 pF à 100 µF, circuits électroniques.

Film polymère : 1 nF à 1 µF, précision, filtrage.

Oxyde de tantale : 100 nF à 1 mF, compact, sensible aux inversions.

Oxyde d'aluminium électrochimique : 10 µF à 1 F, alimentations, audio.

Supercondensateur : 1 F à 3 000 F, stockage d'énergie.

Relation fondamentale q = C · uC

Charge et tension proportionnelles Expérimentalement, on observe que la charge qA portée par l'armature A d'un condensateur est proportionnelle à la tension uC à ses bornes :

q_A = C · u_C qA en C, C en F, uC en V.

qB = − qA (neutralité électrique globale).

Relation valable à tout instant du régime variable.

Relation courant-tension caractéristique Comme i = dq_A/dt et qA = C·uC, on a (C constante) :

i(t) = C · (du_C(t))/(dt) C'est l'équation caractéristique du condensateur, elle joue, pour le condensateur, le même rôle que la loi d'Ohm u = R·i pour un conducteur ohmique.

Conséquence : signe de i Si uC augmente (charge en cours) : du_C/dt > 0 ⇒ i > 0 dans le sens conventionnel.

Si uC diminue (décharge) : du_C/dt < 0 ⇒ i < 0.

Si uC est constant (condensateur chargé à l'équilibre) : i = 0. Un condensateur en régime permanent se comporte comme un interrupteur ouvert.

Circuit RC série en charge

Montage On associe en série une source idéale de tension de f.é.m. E, un conducteur ohmique de résistance R, un condensateur de capacité C et un interrupteur K.

Conditions initiales : K est ouvert, condensateur déchargé : uC(0) = 0 V. À t = 0, on ferme K. On veut l'évolution uC(t).

Mise en équation 1. Loi des mailles : E - u_R - u_C = 0, donc u_R + u_C = E.

2. Loi d'Ohm : u_R = R · i.

3. Comportement du condensateur : i = C · du_C/dt.

En combinant ces trois équations :

R C (du_C)/(dt) + u_C = E C'est une équation différentielle linéaire du 1ᵉʳ ordre à coefficients constants, avec second membre constant E.

Résolution de l'équation : charge

Forme générale de la solution La solution d'une équation y' + y = K (avec, K constantes) est la somme :

d'une solution particulière constante (régime permanent) : yp = K ;

d'une solution générale homogène : yh(t) = A · e−t/τ.

y(t) = A e^-t/ + K Application : solution uC(t)

Pour notre équation R C (du_C)/(dt) + u_C = E, on a = R C et K = E. Donc :

u_C(t) = A e^-t/(RC) + E Détermination de A par la condition initiale uC(0) = 0 :

0 = A · 1 + E A = -E Solution finale :

u_C(t) = E (1 - e^-t/ ), = R C Deux régimes successifs

Régime transitoire : pour t < 5τ, uC évolue ; le courant i = C·duC/dt n'est pas nul.

Régime permanent : pour t > 5τ, uC ≈ E (à mieux que 1 %) et i ≈ 0. Le condensateur agit comme un interrupteur ouvert.

La charge qA(t) = C·uC(t) suit la même courbe en exponentielle.

Circuit RC série en décharge

Montage et conditions initiales On part d'un condensateur chargé à la tension E (uC(0) = E). À t = 0, on bascule l'interrupteur pour relier le condensateur à un conducteur ohmique R, déconnectant la source. Le condensateur se décharge à travers R.

Équation différentielle Loi des mailles : u_R + u_C = 0 (plus de générateur). Avec uR = R·i et i = C·duC/dt :

R C (du_C)/(dt) + u_C = 0 Équation différentielle linéaire d'ordre 1, à coefficients constants, sans second membre.

Solution uC(t) en décharge Solution générale : u_C(t) = A e^-t/. Condition initiale uC(0) = E ⇒ A = E. Donc :

u_C(t) = E e^-t/, = R C Remarque sur le signe de i

Pendant la décharge, qA diminue, donc i = dqA/dt < 0 : le courant circule en sens inverse du sens conventionnel choisi pendant la charge.

Temps caractéristique τ = R·C

Définition = R · C τ en secondes, R en Ω, C en F.

Vérification dimensionnelle : [Ω]·[F] = [V/A]·[C/V] = [C/A] = [C/(C/s)] = [s]. ✓

τ détermine la vitesse de charge/décharge : plus τ est grand, plus le condensateur met de temps à se charger.

Deux méthodes graphiques pour mesurer τ Méthode 1, Tangente à l'origine. Pour la charge :

(du_C)/(dt)(0) = (E)/( ) tangente : u = (E)/( ) t

Cette tangente coupe l'asymptote horizontale u = E exactement en t = τ.

Méthode 2, Méthode des 63 %. Pour la charge : u_C( ) = E (1 - e^-1) ≈ 0,63 E. Pour la décharge : u_C( ) = E e^-1 ≈ 0,37 E. On repère graphiquement la valeur 0,63·E (charge) ou 0,37·E (décharge), on trace une horizontale, on relève l'abscisse t = τ.

Durée du régime transitoire : 5τ À t = 5τ, e⁻⁵ ≈ 0,0067 ≪ 1. On considère qu'à 5τ, le condensateur est chargé (ou déchargé) à plus de 99 % : fin du régime transitoire.

τ = 1 ms (R = 1 kΩ, C = 1 µF) → 5τ = 5 ms.

τ = 100 ms (R = 100 kΩ, C = 1 µF) → 5τ = 500 ms (visible à l'œil nu).

τ = 1 s (R = 1 MΩ, C = 1 µF) → 5τ = 5 s (TP de classe).

Capteurs capacitifs : détecter par variation de C

Principe général Un capteur capacitif exploite le fait que la capacité C = _0 _r S/d change si on modifie un de ses paramètres :

d (distance entre armatures) → capteurs de pression, de déplacement, MEMS.

εr (nature de l'isolant entre armatures) → capteurs de niveau, d'humidité, de présence d'huile.

S (surface effective) → capteurs angulaires, potentiomètres capacitifs.

charges externes (corps approché) → écrans tactiles.

Une variation de C entraîne une variation de τ = RC, donc du temps de réponse du circuit. Un microcontrôleur mesure ce temps et en déduit la grandeur d'intérêt.

Écran tactile capacitif Une grille conductrice chargée est insérée entre deux vitres. Quand un doigt s'approche, il attire les charges de la grille → variation locale du champ et de la capacité. Le microcontrôleur localise le point de variation. Le stylet capacitif fonctionne sur le même principe.

Capteur de niveau (cuve) Deux armatures verticales plongent dans la cuve. Si le liquide monte, l'isolant entre les armatures passe de l'air (εr = 1) au liquide (εr > 1) sur la hauteur immergée. La capacité totale C augmente proportionnellement à la hauteur de remplissage.

MEMS : accéléromètre capacitif Dans un smartphone, l'accéléromètre est une masse suspendue par des ressorts en silicium entre deux électrodes fixes. En cas d'accélération a, la masse se déplace de δ = m·a/k → les distances changent → les deux capacités C₁ et C₂ deviennent asymétriques. Une électronique différentielle en déduit a avec une précision ≈ mg (milli-g). C'est ce capteur qui pivote ton écran, compte tes pas, déclenche l'airbag.

Ce qu'il faut retenir

Intensité en régime variable, i(t) = dq/dt. Lettres minuscules pour les grandeurs variables (u, i, q), majuscules pour les constantes (U, I, E).

Condensateur, 2 armatures + diélectrique. Caractérisé par sa capacité C en farads. C = _0 _r S/d pour un condensateur plan.

Relations clés, q = C · u_C (charge proportionnelle à la tension) et i = C · du_C/dt (équation caractéristique).

Équation différentielle, Charge : RC · u_C' + u_C = E. Décharge : RC · u_C' + u_C = 0. Linéaire d'ordre 1 à coefficients constants.

Solutions exponentielles, Charge : u_C(t) = E(1 - e^-t/ ). Décharge : u_C(t) = E e^-t/. Forme générale y = A e^-t/ + B, A et B fixés par les CI.

Temps caractéristique τ = R·C, En secondes. À t = τ : 63 % de E (charge) ou 37 % de E (décharge). À 5τ : régime permanent.

Méthodes graphiques pour τ, Tangente à l'origine (coupe l'asymptote en τ) ou méthode des 63 % / 37 %.

Capteurs capacitifs, Variation de d (pression, MEMS), εr (niveau, humidité), S, ou charges externes (écran tactile). Mesure du temps τ via microcontrôleur.