Deuxième loi de Newton

Deuxième loi de Newton

La première loi (principe d'inertie) s'applique quand les forces se compensent. Mais que se passe-t-il quand elles ne se compensent pas ? La deuxième loi de Newton, appelée aussi principe fondamental de la dynamique, relie directement la somme des forces appliquées à un système à l'accélération de son centre de masse. C'est l'équation qui régit toute la mécanique classique.

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

identifier un système mécanique et justifier la position de son centre de masse G ;

discuter qualitativement du caractère galiléen d'un référentiel ;

énoncer et écrire la deuxième loi de Newton : F = m a_G ;

appliquer la méthode en 5 étapes (système, référentiel, bilan, loi, projection) ;

déduire a_G à partir des forces (des forces au mouvement) ;

déduire la somme des forces à partir du mouvement (du mouvement aux forces) ;

traiter les cas particuliers : équilibre, plan incliné, mouvement circulaire.

Pourquoi un parachute ralentit-il la chute ?

Lorsqu'un parachutiste saute, sa vitesse augmente, puis se stabilise. Sans son parachute, il accélèrerait jusqu'à l'impact. Avec son parachute déployé, le mouvement change de nature, alors que le poids reste inchangé. La différence ? Une force supplémentaire (la traînée) s'ajoute, et la somme des forces cesse d'accélérer le système.

Trois lois de Newton (1687) 1ʳᵉ loi (principe d'inertie), vue en seconde : si F = 0, le mouvement de G est rectiligne uniforme (ou G est immobile).

2ᵉ loi (PFD), ce chapitre : si F ≠ 0, le mouvement de G accélère selon F = m a_G.

3ᵉ loi (actions réciproques), vue en première : F_A/B = - F_B/A.

La question qui ouvre ce chapitre Comment la deuxième loi de Newton permet-elle de relier la trajectoire d'un système en mouvement aux forces qui s'appliquent à ce système ?

Système mécanique et centre de masse

Système mécanique Un système est un objet ou un ensemble d'objets dont on étudie le mouvement (ou l'équilibre). On le distingue de son environnement (le milieu extérieur), qui exerce sur lui des actions mécaniques modélisées par des forces.

Exemple : pour une balle lâchée par un cycliste, le système est la balle. Pour un parachutiste en chute, le système peut être le parachutiste seul ou parachutiste + parachute selon la question posée.

Centre de masse G Pour simplifier l'étude, on assimile le système à un point matériel placé en son centre de masse G : c'est le point où se situe la position moyenne de toute la masse du système.

Pour un solide de répartition de masse homogène et de forme régulière, G correspond au centre géométrique (sphère, cube, disque…).

Pour un objet dont la masse n'est pas répartie uniformément (un balai, par exemple), G est plus proche de la partie la plus dense (la brosse).

Propriété fondamentale Lors d'un mouvement quelconque (rotation, lancer en vrille d'un frisbee, marteau tournoyant), G décrit la trajectoire la plus simple. Les autres points du système décrivent des trajectoires plus complexes (cycloïdes, hélices) autour de G.

Référentiel galiléen

Référentiel galiléen Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : tout système isolé (ou pseudo-isolé) y est en mouvement rectiligne uniforme ou au repos.

Conséquence importante : les lois de Newton (et donc la deuxième loi) ne sont valables que dans un référentiel galiléen. Tout référentiel en mouvement de translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui aussi galiléen.

Trois référentiels usuels : caractère galiléen

Héliocentrique (centré sur le Soleil) : quasi-galiléen pour toute mécanique à l'échelle du système solaire.

Géocentrique (centré sur la Terre, axes fixes par rapport aux étoiles) : galiléen pour des expériences de durée ≤ quelques heures (on néglige la rotation de la Terre autour du Soleil).

Terrestre (lié à la surface terrestre) : galiléen pour des expériences de durée ≤ quelques minutes (on néglige la rotation diurne de la Terre).

Quand un référentiel n'est PAS galiléen Référentiel lié à une voiture qui accélère ou freine : non galiléen.

Référentiel lié à un manège en rotation : non galiléen (mouvement circulaire, pas une translation uniforme).

Référentiel terrestre n'est plus galiléen si l'expérience dure assez longtemps pour que la rotation de la Terre se manifeste (pendule de Foucault, par exemple).

Énoncé de la deuxième loi de Newton

Deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique)

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système de masse m constante est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre de masse G :

F_ext = m a_G Les normes des forces s'expriment en newtons (N).

La masse m s'exprime en kilogrammes (kg).

La norme de l'accélération \| a_G\| s'exprime en m·s⁻².

Cas particulier : la 1ʳᵉ loi de Newton Si F_ext = 0 (forces qui se compensent), alors :

m a_G = 0 a_G = 0 v_G = constante Le centre de masse est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. La 1ʳᵉ loi n'est donc qu'un cas particulier de la 2ᵉ loi.

Lecture vectorielle a_G et F sont colinéaires et de même sens. La masse m est positive : elle ne fait pas tourner le vecteur. On dit que m joue le rôle d'inertie : à somme de forces donnée, plus m est grand, plus \| a_G\| est faible.

Méthode d'application en 5 étapes

La méthode systématique Système, Définir le système étudié et le modéliser par son centre de masse G.

Référentiel, Choisir un référentiel galiléen et y associer un repère (O, i, j, k) et une horloge.

Bilan des forces, Identifier toutes les forces extérieures appliquées au système et les représenter sur un schéma. Vérifier qu'on n'en oublie pas (poids, réaction, frottements, traînée…).

Deuxième loi de Newton, Écrire l' équation vectorielle : F_ext = m a_G.

Projection sur les axes, Projeter la relation vectorielle sur chaque axe du repère. On obtient des équations scalaires reliant ax, ay, az aux composantes des forces. Avec les conditions initiales, on remonte aux équations horaires de la vitesse, puis de la position.

Deux types d'exercices Des forces au mouvement, on connaît les forces, on en déduit a_G puis le mouvement.

Du mouvement aux forces, on connaît le mouvement (équations horaires, chronophotographie), on en déduit a_G par dérivation, puis la somme des forces.

Exemple 1 : Des forces au mouvement (plan incliné)

Énoncé Un bloc de masse m = 5,0 kg glisse sans frottement sur un plan incliné formant un angle θ = 25° avec l'horizontale. À t = 0 s, il est lâché sans vitesse initiale. On prend g = 9,81 N·kg⁻¹. Déterminer le vecteur accélération du centre de masse.

1. Système : le bloc, modélisé par son centre de masse G.

2. Référentiel : référentiel terrestre, supposé galiléen.

3. Bilan des forces (frottement négligé) :

P = m g : poids, vertical vers le bas, norme mg.

N : réaction normale du support, perpendiculaire au plan, vers l'extérieur.

4. 2ᵉ loi de Newton :

P + N = m a_G 5. Projection sur les axes (Ox) (descendant, parallèle au plan) et (Oy) (perpendiculaire au plan, vers l'extérieur) :

cases (Ox) : & m g θ + 0 = m a_x \ (Oy) : & -m g θ + N = m a_y cases Le bloc glisse sur le plan donc a_y = 0 :

a_x = g θ; N = m g θ Application numérique : a_x = 9,81 × 25^° ≈ 4,1 m·s⁻². L'accélération est dirigée selon l'axe (Ox), c'est-à-dire vers le bas du plan.

Remarque importante La masse m du bloc n'intervient pas dans la valeur de aₓ : tous les blocs (légers ou lourds) glissent avec la même accélération sur ce plan ! C'est l'équivalent de la chute libre (Galilée).

Exemple 2 : Du mouvement aux forces (voiture qui freine)

Énoncé Une voiture de masse m = 1,2 × 10³ kg roule en ligne droite sur une route horizontale. Elle ralentit sous l'effet des frottements (l'action de l'air est négligée). Son équation horaire de position est :

x(t) = -0,75 t^2 + 25 t + 20 (m, s) Déterminer la norme de la force de frottement du sol pendant ce mouvement.

1. Système : la voiture, modélisée par G. 2. Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

3. Bilan des forces :

P = m g (poids, vers le bas).

N (réaction normale du sol, verticale vers le haut).

f (frottement du sol, horizontale, opposée au mouvement).

4. 2ᵉ loi : P + N + f = m a_G.

5. Projection sur (Ox) (axe horizontal, sens du mouvement) :

-f = m a_x Or, par dérivation : v_x(t) = (dx)/(dt) = -1,50 t + 25, donc a_x = (dv_x)/(dt) = -1,50 m·s⁻² (constant).

On en déduit : f = -m a_x = -1,2 × 10^3 × (-1,50) = 1,8 × 10^3 N.

Méthode générale « Du mouvement aux forces » : (1) dériver les équations horaires pour obtenir a_G ; (2) écrire la 2ᵉ loi ; (3) isoler la force inconnue (souvent obtenue à partir de la projection sur l'axe pertinent).

Équilibre d'un système

Équilibre Un système est dit en équilibre dans un référentiel donné si son centre de masse G est immobile dans ce référentiel : v_G = 0 et donc a_G = 0.

D'après la 2ᵉ loi de Newton, l'équilibre se traduit par :

F_ext = 0 C'est la condition d'équilibre, strictement identique au principe d'inertie de la 1ʳᵉ loi.

Distinction importante : équilibre ≠ mvt rectiligne uniforme Si F = 0, alors :

soit G est immobile (équilibre) ; soit G a un mouvement rectiligne uniforme.

On parle d'équilibre uniquement quand v_G = 0. Pour un mouvement rectiligne uniforme, G bouge mais à vitesse constante : pas d'équilibre, mais bien des forces compensées.

Exemples d'équilibre Un livre posé sur une table : P + N = 0 avec N = mg.

Une lampe suspendue à un fil : P + T = 0 avec la tension T = mg.

Un parachutiste en chute à vitesse limite (constante) : poids et traînée se compensent → pas équilibre stricto sensu (G bouge) mais somme nulle.

Application au mouvement circulaire uniforme

Pour un système en mouvement circulaire uniforme (vu au chapitre précédent), l'accélération est centripète :

a_G = (v^2)/(R) u_n En appliquant la 2ᵉ loi de Newton, la somme des forces doit donc être elle aussi centripète :

F_ext = m (v^2)/(R) u_n Lecture physique La somme des forces extérieures, dirigée vers le centre du cercle, est responsable du changement de direction de la vitesse. Sa norme :

\| F \| = (m v^2)/(R) Exemple : satellite circulaire

Pour un satellite en orbite circulaire à l'altitude h, la seule force qui agit est l'attraction gravitationnelle de la Terre, dirigée vers le centre de la Terre, donc centripète. Elle joue le rôle de la force centripète : G M_T m/(R_T+h)^2 = m v^2/(R_T+h).

Gestes au laboratoire : vérifier la 2ᵉ loi

Protocole standard avec mobile autoporteur Filmer le mouvement d'un mobile sur une table à coussin d'air à laquelle on applique une force connue (masselotte + fil + poulie).

Pointer la position du mobile image par image avec un logiciel de tracking (Tracker, Aviméca).

Déterminer a_G par dérivation seconde (différences centrées : np.gradient).

Mesurer la masse m du mobile et la masse m' de la masselotte (poids ≈ m'g).

Comparer m \| a_G\| à \| F\| : si la table est bien horizontale (frottements négligeables) et le fil parallèle à la trajectoire, on observe l'égalité aux incertitudes expérimentales près.

Astuce critique : vérifier le caractère galiléen

Avant de lancer l'expérience, vérifier que la table est horizontale (à la bulle) : sinon, le référentiel du laboratoire reste galiléen, mais une composante du poids s'ajoute au bilan des forces et fausse la mesure.

Ce qu'il faut retenir

Un système mécanique est modélisé par son centre de masse G, point qui décrit la trajectoire la plus simple et concentre la masse.

Un référentiel galiléen est un référentiel où le principe d'inertie est vérifié. Tout référentiel en translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui aussi galiléen.

2ᵉ loi de Newton (PFD) : F_ext = m a_G dans un référentiel galiléen.

La 1ʳᵉ loi (inertie) est un cas particulier : si F = 0, alors a_G = 0 ⇒ G est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme.

Méthode en 5 étapes : (1) système (2) référentiel (3) bilan des forces (4) 2ᵉ loi (5) projection sur les axes.

Deux types d'exercices : des forces au mouvement (déduire a_G ) et du mouvement aux forces (déduire F ).

Pour un mouvement circulaire uniforme : F = m (v^2)/(R) u_n (centripète).