Décrire un mouvement

1. Donner la définition d'un référentiel. Citer trois référentiels usuels avec un domaine d'application.

2. Écrire la relation qui lie le vecteur vitesse au vecteur position. Préciser les unités de chaque grandeur.

3. Mêmes questions pour le vecteur accélération.

4. Définir le repère de Frenet et préciser l'orientation des vecteurs unitaires.

5. Donner l'expression de l'accélération d'un mouvement circulaire uniforme. Justifier qu'elle n'est pas nulle.

Un mobile M se déplace dans le plan $(Oxy)$. Ses équations horaires sont :

1. Établir les expressions de $v_x(t)$ et $v_y(t)$.

2. Calculer la valeur de la vitesse à $t = 1$ s puis à $t = 2$ s.

3. Établir les expressions de $a_x(t)$ et $a_y(t)$.

4. En déduire la valeur et la direction de $\vec{a}$ à $t = 1$ s.

Une bille est lancée horizontalement avec une vitesse initiale et tombe sous l'effet du champ de pesanteur. On la filme à 25 images par seconde. Sur le relevé de pointage, on mesure les positions successives $M_1, M_2, \ldots, M_7$ :

1. Quelle est la valeur de la durée $\tau$ entre deux images ?

2. Estimer la valeur de $\vec{v}_4$ (vitesse au point M₄) par la méthode du segment $M_3 M_5$.

3. Calculer les composantes $v_{x,4}$ et $v_{y,4}$ et en déduire la valeur de $\vec{v}_4$.

4. En procédant de même pour $\vec{v}_3$ et $\vec{v}_5$, estimer la valeur de $\vec{a}_4$. Conclure sur la nature du mouvement vertical.

Un véhicule démarre d'un feu rouge avec une accélération constante $a = 2{,}5$ m·s⁻² selon une trajectoire rectiligne. À $t = 0$, il est à l'origine et sa vitesse est nulle.

1. Justifier que le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.

2. Établir l'équation horaire de la vitesse $v(t)$ en intégrant $a(t)$.

3. Établir l'équation horaire de la position $x(t)$ en intégrant $v(t)$.

4. Calculer le temps que met le véhicule pour atteindre 50 km·h⁻¹.

5. Calculer la distance parcourue pendant cette phase d'accélération.

Un satellite météorologique se déplace en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre, à l'altitude $h = 800$ km. La période de révolution est $T = 6\,030$ s. On donne le rayon terrestre $R_T = 6\,380$ km.

1. Quel référentiel adopter pour décrire ce mouvement ? Justifier.

2. Calculer le rayon $R$ de la trajectoire dans ce référentiel.

3. Calculer la vitesse $v$ du satellite.

4. Déterminer la valeur de l'accélération du satellite. Préciser sa direction et son sens.

5. Comparer cette valeur à $g_0 = 9{,}81$ m·s⁻² (intensité de pesanteur à la surface terrestre). Commenter.

Les coordonnées $(t_i, x_i, y_i)$ d'un mobile pointé par chronophotographie sont stockées dans 3 tableaux Python : t, x, y.

1. Écrire un programme Python qui :

• calcule les coordonnées $v_{x,i}$ et $v_{y,i}$ du vecteur vitesse par la méthode de la dérivée centrée (utiliser np.gradient) ;
• calcule les coordonnées $a_{x,i}$ et $a_{y,i}$ du vecteur accélération ;
• trace la trajectoire et superpose les vecteurs accélération en chaque point avec plt.quiver.

2. Application : on donne le jeu de données suivant (chute libre depuis le repos). Que vaut, d'après ton programme, la composante $a_y$ moyenne ? Conclure.

t = [0.00, 0.04, 0.08, 0.12, 0.16, 0.20]
x = [0, 0, 0, 0, 0, 0]
y = [1.000, 0.992, 0.969, 0.929, 0.875, 0.804]

Un joueur de basket-ball réussit un lancer-franc. Au moment du lâcher (origine du repère), la balle est à 2,1 m du sol et possède une vitesse initiale $v_0 = 7{,}5$ m·s⁻¹ inclinée de $\alpha = 50^\circ$ au-dessus de l'horizontale. On néglige les frottements. On donne $g = 9{,}81$ m·s⁻².

1. Faire un schéma annoté avec le repère $(O, x, y)$, le vecteur $\vec{v_0}$ et le vecteur $\vec{g}$.

2. Donner les composantes initiales $v_{0x}$ et $v_{0y}$.

3. Que valent les composantes $a_x$ et $a_y$ de l'accélération de la balle à un instant quelconque ?

4. Par intégration, établir $v_x(t)$ et $v_y(t)$.

5. Par intégration encore, établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$. (En tenant compte de $y(0) = 2{,}1$ m.)

6. Le panier est à une hauteur de 3,05 m et à une distance horizontale de 4,6 m du tireur. Vérifier que la balle passe bien dans le panier.

7. Quel est le type de mouvement de la balle selon la verticale ? Selon l'horizontale ? Conclure.