Décrire un mouvement

Décrire un mouvement

Comment décrire rigoureusement le mouvement d'un point, qu'il s'agisse du TGV, du satellite Hubble ou d'un ballon de football ? La réponse tient en trois vecteurs qui se déduisent les uns des autres par dérivation : position, vitesse et accélération.

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

choisir un référentiel d'étude et y associer un repère + une horloge ;

écrire les coordonnées cartésiennes des vecteurs OM, v et a ;

passer du vecteur position au vecteur vitesse par dérivation, idem pour v → a ;

caractériser les 5 types de mouvement (rectiligne uniforme/accéléré, circulaire uniforme/non uniforme) ;

utiliser le repère de Frenet et l'accélération centripète a_n = v^2/R ;

exploiter une chronophotographie pour tracer v et a ;

tracer les vecteurs accélération à l'aide d'un script Python.

De Galilée à Newton

Décrire le mouvement d'un objet semble simple… jusqu'à ce qu'on cherche à le faire avec rigueur. Deux figures scientifiques ont posé les fondations de cette description.

Galilée (XVIIᵉ siècle) Physicien, mathématicien et astronome italien. Il introduit la notion de relativité du mouvement en 1632 : un mouvement n'a de sens que par rapport à un référentiel.

Isaac Newton (1687) Dans les Principia Mathematica, il énonce les trois lois qui fondent la mécanique classique (newtonienne). Vu au chapitre suivant.

La question qui ouvre ce chapitre Comment décrire le plus fidèlement possible le mouvement d'un système dans un référentiel donné ?

Réponse : par trois vecteurs ( OM, v, a ) qui découlent les uns des autres par dérivation par rapport au temps.

Cinématique : référentiel et horloge

Cinématique La cinématique est l'étude du mouvement indépendamment des causes qui le provoquent (les forces sont étudiées au chapitre suivant).

Référentiel Un référentiel est un solide de référence par rapport auquel on étudie le mouvement. On y associe :

un repère d'espace (base orthonormée (O, i, j, k) ) pour situer le point ;

un repère de temps (horloge) pour dater chaque position.

Trois référentiels usuels Référentiel terrestre : lié à la surface de la Terre ; ses axes accompagnent la rotation circadienne (24 h) autour de l'axe Nord–Sud.

Référentiel géocentrique : centré sur le centre de la Terre, axes pointant vers des étoiles lointaines (donc de direction fixe). Adapté à l'étude des satellites et de la Lune.

Référentiel héliocentrique : centré sur le Soleil. Adapté à l'étude des planètes.

Convention : un référentiel centré sur un astre porte le suffixe -centrique (sélénocentrique pour la Lune, aréocentrique pour Mars, etc.).

Vecteur position OM(t)

Vecteur position Dans un repère (O, i, j, k) lié au référentiel d'étude, la position d'un point M est repérée par le vecteur position OM(t) de coordonnées :

OM(t) = pmatrix x_M(t) \ y_M(t) \ z_M(t) pmatrix

Les expressions de x(t), y(t) et z(t) en fonction du temps sont appelées les équations horaires de la position.

La norme de OM s'exprime en mètres (m) :

\| OM \| = √(x_M^2 + y_M^2 + z_M^2) Trajectoire

La trajectoire est l'ensemble des positions successivement occupées par le point M au cours du temps dans le référentiel d'étude.

⚠️ La trajectoire dépend du référentiel : un point fixe d'une roue de vélo a une trajectoire circulaire dans le référentiel terrestre, mais rectiligne dans le référentiel du cycliste !

Vecteur vitesse : dérivée de OM(t)

Le vecteur vitesse moyenne entre deux instants t_i et t_i+1 est :

v_moy = ( M_i M_i+1)/(t_i+1 - t_i) = (Δ OM)/(Δ t)

En faisant tendre Δ t → 0, on obtient le vecteur vitesse instantané à l'instant t :

Vecteur vitesse instantanée v(t) = (d OM(t))/(dt)

Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position. Ses coordonnées cartésiennes :

v(t) = pmatrix v_x(t) = (dx)/(dt) \ v_y(t) = (dy)/(dt) \ v_z(t) = (dz)/(dt) pmatrix Caractéristiques du vecteur vitesse

Direction : tangente à la trajectoire au point considéré.

Sens : celui du mouvement.

Norme : valeur de la vitesse instantanée, en m · s^-1 : \| v\| = √(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2).

Exemple : équations horaires d'un ballon Un ballon est lancé avec une vitesse initiale 20 m·s⁻¹ formant un angle de 30° avec l'horizontale (frottements négligés). Les équations horaires de sa position sont :

x(t) = 17 t; y(t) = -4,9 t^2 + 10 t (en m) Les équations horaires de la vitesse s'obtiennent en dérivant :

v_x(t) = (dx)/(dt) = 17 m · s^-1; v_y(t) = (dy)/(dt) = -9,8 t + 10 m · s^-1 À t = 0 : v_0 = √(17^2 + 10^2) ≈ 20 m·s⁻¹ ✓

Méthode : tracer le vecteur vitesse sur une chronophotographie

Une chronophotographie est une succession d'images d'un mobile prises à intervalles de temps = Δ t réguliers. Sur ce relevé, on peut graphiquement tracer le vecteur vitesse à un point donné.

Méthode (point Mᵢ) Le vecteur vitesse en M_i est approché par la vitesse moyenne entre la position précédente M_i-1 et la position suivante M_i+1 :

v_i ≈ ( M_i-1 M_i+1)/(2 ) Mesurer la longueur \|M_i-1 M_i+1\| à la règle (échelle).

Calculer v_i = (M_i-1 M_i+1)/(2 ).

Tracer le vecteur depuis M_i, parallèle à M_i-1 M_i+1, dans le sens du mouvement, à l'échelle.

0 0 540 220 M 40 150 Q 270 80 500 150 none #94a3b8 3 2 0.5 60 147.74400179584254 #fbbf24 60 165.74400179584254 middle 11 currentColor M1 140 139.41986545873547 #fbbf24 140 157.41986545873547 middle 11 currentColor M2 230 133.26402325401148 #fbbf24 230 151.26402325401148 middle 11 currentColor M3 330 132.56550309968463 #fbbf24 330 150.56550309968463 middle 11 currentColor M4 440 139.41986545873547 #fbbf24 440 157.41986545873547 middle 11 currentColor M5 140 139.41986545873547 330 132.56550309968463 #22d3ee 3 2 0.6 235 115 10 #22d3ee 0.85 M₂M₄ 230 133.26402325401148 325 129.83684207448607 #dc2626 2.4

319,125.83684207448607 329,129.83684207448607 319,133.83684207448607 #dc2626 337 125.83684207448607 13 700 #dc2626 italic sub 334 114.83684207448607 344 114.83684207448607 #dc2626 1.4

342,112.83684207448607 346,114.83684207448607 342,116.83684207448607 #dc2626 270 200 middle 11 currentColor 0.7

v₃ ≈ M₂M₄ / (2τ), parallèle à M₂M₄, sens du mouvement

Vecteur accélération : dérivée du vecteur vitesse

L'accélération caractérise la variation du vecteur vitesse en fonction du temps. Par analogie avec le vecteur vitesse, on définit l'accélération moyenne puis on passe à la limite.

Vecteur accélération instantanée a(t) = (d v(t))/(dt) = (d^2 OM(t))/(dt^2)

L'accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse (et donc la dérivée seconde du vecteur position). Ses coordonnées cartésiennes :

a(t) = pmatrix a_x = (dv_x)/(dt) = (d^2 x)/(dt^2) \ a_y = (dv_y)/(dt) \ a_z = (dv_z)/(dt) pmatrix

Sa norme s'exprime en m · s^-2 : \| a\| = √(a_x^2 + a_y^2 + a_z^2).

Reprenons le ballon précédent Pour v_x(t) = 17 et v_y(t) = -9,8 t + 10 :

a(t) = pmatrix a_x = 0 \ a_y = -9,8 \ a_z = 0 pmatrix m · s^-2

L'accélération est constante, dirigée vers le bas (sens des y décroissants), de norme g ≈ 9,8 m·s⁻². C'est le champ de pesanteur ! (Chapitre suivant.)

Méthode : tracer le vecteur accélération sur une chronophotographie

Une fois les vecteurs vitesses tracés en plusieurs points consécutifs, on peut en déduire le vecteur accélération.

Méthode (point Mᵢ) a_i ≈ ( v_i+1 - v_i-1)/(2 ) = (Δ v)/(Δ t)

Tracer les vecteurs v_i-1 et v_i+1 en M_i (point d'origine commun).

Tracer Δ v = v_i+1 - v_i-1 en utilisant la relation de Chasles : on construit l'extrémité de - v_i-1 puis on ajoute v_i+1.

Mesurer la norme de Δ v à l'échelle.

Diviser par 2 pour obtenir la norme de a_i.

Le vecteur a_i a la même direction et le même sens que Δ v.

Cas particulier : accélération nulle Si les vecteurs vitesses successifs sont égaux (même norme, même direction, même sens), alors Δ v = 0 et donc a = 0 : le mouvement est rectiligne uniforme.

Mouvement rectiligne

Mouvement rectiligne Un mouvement est rectiligne si sa trajectoire est une droite. Dans ce cas, la direction de v est celle de la droite ; le vecteur accélération a a la même direction que v.

3 cas à distinguer Rectiligne uniforme : v est constant (direction, sens, norme) et non nul ⇒ a = 0 à tout instant.

Rectiligne uniformément accéléré : a est constant et non nul, de même sens que v ⇒ la norme de v augmente.

Rectiligne uniformément ralenti : a est constant et non nul, de sens opposé à v ⇒ la norme de v diminue.

Comment reconnaître chaque cas sur une chronophoto ?

Uniforme : les positions consécutives sont équidistantes ( \|M_i M_i+1\| = \|M_i+1 M_i+2\| à \tau constant).

Uniformément accéléré : les positions consécutives s'écartent de plus en plus.

Uniformément ralenti : les positions consécutives se rapprochent de plus en plus.

Repère de Frenet (pour mouvement circulaire)

Pour étudier un mouvement circulaire, le repère cartésien (O, i, j) n'est plus le mieux adapté. On utilise un repère mobile attaché au point M lui-même : le repère de Frenet.

Repère de Frenet Le repère de Frenet (M, u_t, u_n) est centré sur le mobile M et utilise deux vecteurs unitaires orthonormaux :

u_t : tangentiel, tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement.

u_n : normal, perpendiculaire à u_t, orienté vers le centre de la courbure de la trajectoire (donc vers le centre du cercle pour un mouvement circulaire).

Expression des vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Frenet (mvt circulaire de rayon R)

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire : v = v(t) u_t

Le vecteur accélération se décompose en deux contributions :

a = a_t u_t + a_n u_n avec a_t = (dv)/(dt) et a_n = (v^2)/(R)

a_t : accélération tangentielle, traduit la variation de la norme de la vitesse.

a_n : accélération normale, traduit le changement de direction de la vitesse. Toujours positive et dirigée vers le centre.

Mouvement circulaire uniforme : accélération centripète

Mouvement circulaire uniforme Un mouvement est circulaire uniforme si la trajectoire est un cercle et si la norme du vecteur vitesse est constante.

Attention : la direction du vecteur vitesse change en permanence (elle reste tangente au cercle), même si sa norme est constante. Donc le vecteur accélération n'est pas nul !

Conséquence : accélération centripète Si v est constante : a_t = (dv)/(dt) = 0, donc seule la composante normale subsiste :

a = (v^2)/(R) u_n Le vecteur accélération est :

perpendiculaire à la trajectoire, dirigé vers le centre du cercle (sens de u_n ), de norme constante a = v^2/R.

On dit que l'accélération est centripète (« qui tend vers le centre »).

Exemple : le télescope spatial Hubble Hubble orbite à R = 7 000 km autour de la Terre (référentiel géocentrique) avec une période de révolution T = 1 h 37 min.

Vitesse : v = (2π R)/(T) = (2π × 7 × 10^6)/(97 × 60) ≈ 7,6 × 10^3 m·s⁻¹.

Accélération centripète : a = (v^2)/(R) = ((7,6 × 10^3)^2)/(7 × 10^6) ≈ 8,2 m·s⁻². (C'est presque g !)

Mouvement circulaire non uniforme

Si le mouvement est circulaire mais que la norme de la vitesse varie, on n'a plus la simplification précédente : l'accélération possède une composante tangentielle non nulle.

Accélération dans un mouvement circulaire non uniforme

a(t) = (dv)/(dt)_a_t u_t + (v(t)^2)/(R)_a_n u_n

Composante tangentielle a_t : peut être positive (mouvement accéléré) ou négative (mouvement décéléré).

Composante normale a_n : toujours positive, dirigée vers le centre.

Le vecteur accélération total a est donc toujours orienté vers l'intérieur de la courbure de la trajectoire, mais il n'est plus colinéaire à u_n : il fait un angle avec la normale.

Norme du vecteur accélération \| a\| = √(a_t^2 + a_n^2) = √( ((dv)/(dt) )^2 + ((v^2)/(R) )^2)

Bilan : les 5 types de mouvement

En combinant la forme de la trajectoire (droite ou cercle) et la variation de la norme de la vitesse (constante ou non), on obtient cinq cas-types :

Type Trajectoire a_t a_n Vecteur a Immobile a = 0 Rectiligne uniforme droite a = 0 Rectiligne accéléré droite ≠ 0 a = a_t u_t Circulaire uniforme cercle ≠ 0 a = (v^2)/(R) u_n Circulaire non uniforme cercle ≠ 0 ≠ 0 a = a_t u_t + a_n u_n Mnémonique

Rectiligne = trajectoire droite ⇒ a_n = 0 (pas de courbure).

Uniforme = norme de la vitesse constante ⇒ a_t = 0 (pas de variation de la valeur).

Gestes au laboratoire : exploiter une chronophotographie

Protocole standard Filmer un mouvement à une cadence connue (par exemple 30 ou 60 images par seconde, donc \tau = 33 ms ou 17 ms).

Importer la vidéo dans un logiciel de pointage (Tracker, Aviméca, AtelierScientifique).

Définir l'échelle à partir d'une longueur connue dans la scène (règle, mètre étalon).

Choisir le référentiel et l'origine du repère.

Pointer image par image la position du centre de masse du système, récupération du tableau (t_i, x_i, y_i).

Exporter en CSV, puis exploitation Python (capacité numérique BO).

Python : capacité numérique BO « Représenter, à l'aide d'un langage de programmation, des vecteurs accélération d'un point lors d'un mouvement. »

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Données expérimentales t = np.array([0, 0.04, 0.08, 0.12, 0.16, 0.20]) x = np.array([0.0, 0.5, 1.1, 1.8, 2.6, 3.5]) y = np.array([2.0, 2.1, 2.0, 1.7, 1.2, 0.5]) # Vecteurs vitesse (différence centrée) vx = np.gradient(x, t) vy = np.gradient(y, t) # Vecteurs accélération ax = np.gradient(vx, t) ay = np.gradient(vy, t) # Tracé : positions + vecteurs accélération plt.quiver(x, y, ax, ay, color="red") plt.plot(x, y, "o-") plt.xlabel("x (m)") plt.ylabel("y (m)") plt.show()

Ce qu'il faut retenir

La cinématique étudie le mouvement indépendamment des causes (forces). Tout mouvement se décrit par rapport à un référentiel (repère + horloge).

Le vecteur position OM(t) a pour coordonnées (x(t), y(t), z(t)) dans le repère cartésien.

Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position : v(t) = (d OM)/(dt), tangent à la trajectoire, en m·s⁻¹.

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse : a(t) = (d v)/(dt), en m·s⁻².

5 types de mouvement : immobile, rectiligne uniforme, rectiligne uniformément accéléré, circulaire uniforme, circulaire non uniforme.

Dans le repère de Frenet (M, u_t, u_n) : a = (dv)/(dt) u_t + (v^2)/(R) u_n.

Pour un mouvement circulaire uniforme : accélération centripète a = (v^2)/(R) u_n.