Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

Un skieur supposé ponctuel de masse $m = 92{,}7\ \mathrm{kg}$ dévale à vitesse constante une pente rectiligne de longueur $HB = L = 120\ \mathrm{m}$, inclinée d'un angle α par rapport à l'horizontale. La piste et l'air exercent une unique force de frottement $\vec{F}$ de norme $F = k\,v$ avec $v = 42{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et k constante positive. Données : $h = 50{,}7\ \mathrm{m}$, $g = 9{,}81\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$.

1. Que signifie « ponctuel » dans cet énoncé ?
2. Déterminer la valeur de l'angle α en degrés.
3. Tracer sur le schéma (sans tenir compte des normes) les trois forces : poids $\vec{P}$, réaction normale $\vec{R}$, force de frottement $\vec{F}$.
4. Montrer que F est constante.
5. Déterminer l'expression la plus simple du travail de chacune de ces 3 forces sur HB.
6. À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, déterminer la valeur de la constante k. Donner ses unités par analyse dimensionnelle.

Un enfant lâche sans la pousser ($v_A = 0$) une voiturette de masse $m = 75\ \mathrm{g}$ au point A (altitude $z_A = 5{,}1\ \mathrm{m}$) d'une piste. La voiturette descend en B ($z_B = 0\ \mathrm{m}$) puis remonte en C ($z_C = 3{,}4\ \mathrm{m}$). Frottements négligés. $g = 9{,}8\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$.

1. Donner l'expression de l'énergie mécanique en fonction de l'altitude z et de la vitesse v.
2. Montrer que $E_m$ de la voiturette se conserve.
3. Calculer $E_m$ au point A.
4. Déterminer la vitesse $v_B$ au point B.
5. Même question pour $v_C$ au point C.

Une personne de masse $M = 60\ \mathrm{kg}$ tracte une luge de masse $m = 40\ \mathrm{kg}$ à l'aide d'une corde tendue, du point A ($z_A = 0\ \mathrm{m}$) au point B ($z_B = 20\ \mathrm{m}$), avec $AB = 100\ \mathrm{m}$. La force $\vec{F}$ de la corde sur la luge est constante. $g = 10\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$.

1. Inventaire complet des forces extérieures sur le système { luge }.
2. Préciser les caractéristiques du poids de la luge.
3. Donner les coordonnées du vecteur poids dans le repère (Oxy) horizontal/vertical.
4. Déterminer l'expression littérale du travail de $\vec{F}$ sur le déplacement AB.
5. Arrivée en B, la personne monte sur la luge et se laisse glisser sans élan de B vers A. En négligeant les frottements, déterminer la vitesse $v_A$ du système { luge + personne } au point A.

Une petite péniche de masse $M = 10\ \mathrm{t} = 10\,000\ \mathrm{kg}$ est uniquement tractée par un cheval à vitesse constante à l'aide d'une corde sur un trajet de longueur L. La force $\vec{F}$ de la corde fait un angle θ avec le déplacement. $g = 10\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$.

1. Inventaire complet des forces extérieures sur la péniche.
2. Ces forces se compensent-elles ? Justifier rigoureusement.
3. Préciser les caractéristiques du poids.
4. Déterminer l'expression littérale du travail de $\vec{F}$ sur ce trajet.
5. À destination, la péniche freine seule de $v_i = 1{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ à 0 sur 50 m. Calculer la valeur de la force de freinage f.

Un chariot de masse $m = 20\ \mathrm{kg}$ est tracté sur une piste horizontale AB ($L = 4{,}0\ \mathrm{m}$) par une force $\vec{F}$ inclinée d'un angle $\alpha = 40°$ par rapport au déplacement, de norme $F = 120\ \mathrm{N}$. Vitesse constante $v_A = 1{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. $g = 10\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$.

Partie 1, Mouvement entre A et B

1. Inventaire complet des forces sur le chariot.
2. Donner l'expression littérale puis la valeur de $W_{AB}(\vec{F})$.
3. Le chariot est-il pseudo-isolé ? Justifier.
4. Montrer sans calcul que Em du chariot se conserve.
5. Le chariot subit pourtant des forces non conservatives. Comment expliquer la conservation de Em malgré cela ?

Partie 2, Mouvement entre B et C

En B, on supprime $\vec{F}$. Le chariot aborde une descente BC de longueur $d = 3{,}0\ \mathrm{m}$, inclinée à $\beta = 25°$. Soumis au poids, à la réaction normale $\vec{R}$ et à une force de frottement $\vec{f}$ de norme $f = 30\ \mathrm{N}$.

6. Donner l'expression littérale la plus simple du travail de chacune des 3 forces sur BC.
7. Déterminer la vitesse $v_C$ au point C.
8. Quelle est la nature du mouvement entre B et C ?

Partie 3, Mouvement entre C et D

On néglige les frottements entre C et D. On reprend la vitesse trouvée à la question précédente, $v_C \approx 4{,}2\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, avec $h_C = 0$.

9. Déterminer l'altitude $h_D$ où le chariot s'arrête en remontant la pente CD.