Bac 2026Métropole · Jour 2Corrigé complet

Le kéfir de fruit (titrage conductimétrique des ions chlorure, cinétique d'ordre 1 de la fermentation, identification IR/CCM) · La yaourtière (bilans d'énergie, refroidissement et loi de Newton) · Le satellite TESS (gravitation, 3ᵉ loi de Kepler, transit d'exoplanète)

Durée : 3 h 3020 points3 exercices

Chapitres BO travaillés

T1.3·Analyser un système par des méthodes chimiques (titrages)T1.2·Analyser un système par des méthodes physiques T1.4·Suivre et modéliser l'évolution temporelle (cinétique)T1.9·Élaborer des stratégies en synthèse organique T3.2·Premier principe / bilans thermiques T2.4·Mouvement dans un champ de gravitation T2.2·Deuxième loi de Newton T2.1·Décrire un mouvement (vecteurs vitesse/accélération)

PDF du sujet officiel

Session 2026, Métropole Jour 2 (mercredi 17 juin 2026). Trois exercices indépendants : la chimie du kéfir de fruit (contrôle de l'eau par titrage conductimétrique, cinétique de fermentation, arômes) ; l'étude énergétique d'une yaourtière (bilans thermiques, refroidissement) ; et le satellite TESS à la recherche d'exoplanètes (gravitation, lois de Kepler, transit planétaire).

Exercice 19 pts≈ 1 h 35

Le kéfir de fruit

#titrage conductimétrique#équivalence#conductivité molaire ionique#programmation Python#cinétique d'ordre 1#équation différentielle#temps de demi-réaction#spectroscopie IR#chromatographie sur couche mince#extraction

Le kéfir de fruit est une boisson fermentée, pétillante et peu sucrée, obtenue grâce à des grains de kéfir (levures et bactéries). On étudie trois paramètres de sa préparation : la qualité de l'eau, la cinétique de fermentation et les arômes apportés par le citron.

1.11. Concentration des ions chlorure dans l'eau du robinet

Une teneur trop élevée en ions chlorure détruit les bactéries du kéfir. On titre par conductimétrie un volume $V_1 = 250{,}0\ \text{mL}$ d'eau du robinet par une solution de nitrate d'argent $(\text{Ag}^+ ; \text{NO}_3^-)$ de concentration $C = 1{,}00\times10^{-2}\ \text{mol·L}^{-1}$ . Réaction support : $\text{Ag}^+(aq) + \text{Cl}^-(aq) \rightarrow \text{AgCl}(s)$ .

Données : $M(\text{Cl}) = 35{,}5\ \text{g·mol}^{-1}$ ; conductivités molaires ioniques à 25 °C : $\lambda(\text{Cl}^-) = 7{,}6$ , $\lambda(\text{NO}_3^-) = 7{,}1$ , $\lambda(\text{Ag}^+) = 6{,}2\ \text{mS·m}^2\text{·mol}^{-1}$ .

Figure 1 : extrait du programme Python simulant le titrage (lignes 1 à 17) — Figure 1 : Extrait du programme en langage Python.

APPREA

T1.3

Schématiser le dispositif du titrage, en légendant la verrerie et en indiquant la solution titrante et la solution titrée.

REA

T1.3

Recopier et compléter les lignes de code 4 et 5 par une valeur numérique.

ANAREA

T1.3

Compléter la ligne 7 par l'expression du volume à l'équivalence en fonction des données du programme.

ANAREA

T1.3

Compléter la ligne 15 (quantité de matière de chlorure d'argent formé pour V = 0, V = V_E et V = V_max), avec les paramètres C et V_E.

REA

T1.3

Tracer sur l'annexe l'évolution de la quantité de matière des ions nitrate en fonction du volume V versé.

ANAVAL

T1.2

Interpréter qualitativement l'évolution de la conductivité au cours du titrage.

ANAREAVAL

T1.3

Déterminer la concentration en masse en ions chlorure de cette eau et conclure sur son utilisation (teneur maximale admissible : 2 g·L⁻¹).

Figure 2 : conductivité σ de la solution en fonction du volume de titrant versé. Les points décrivent deux portions de droite de pentes opposées, formant un creux marqué. — Figure 2 : Suivi conductimétrique du titrage de l'eau du robinet.

1.22. Cinétique de la réaction de fermentation

Le glucose est transformé en éthanol et en dioxyde de carbone : $\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6(aq) \rightarrow 2\,\text{CH}_3\text{CH}_2\text{OH}(aq) + 2\,\text{CO}_2(g)$ . On suit la concentration en éthanol au cours du temps (sonde), pour 1 L de boisson préparée avec 20 g de glucose.

Donnée : $M(\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6) = 180{,}0\ \text{g·mol}^{-1}$ .

APP

T1.4

Citer une autre méthode envisageable pour suivre la cinétique de cette fermentation.

ANAREA

T1.4

Montrer que $n_\text{glu}(t) = n_\text{glu}(t_0) - \dfrac{C_\text{éth}(t)\cdot V_\text{Boisson}}{2}$ .

Q10

ANAREA

T1.4

En supposant une loi de vitesse d'ordre 1, montrer que $\dfrac{dC_\text{glu}(t)}{dt} + k\cdot C_\text{glu}(t) = 0$ .

Q11

VAL

T1.4

Justifier que cette équation admet pour solution $C_\text{glu}(t) = C_\text{glu}(0)\,e^{-kt}$ .

Q12

ANAVAL

T1.4

Justifier que le tracé de la figure 3 confirme que la disparition du glucose suit une loi d'ordre 1.

Figure 3 : ln(Cglu) en fonction du temps : droite décroissante, ln Cglu = -5,34e-6 t - 2,22 — Figure 3 : Évolution de ln(C_glu) au cours du temps.

Q13

REAVAL

T1.4

À partir de l'équation de modélisation, calculer la masse de glucose initialement introduite. Commenter.

Q14

REAVALCOM

T1.4

Déterminer le temps de demi-réaction $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}$ . Conclure sur la recette (la boisson doit conserver du sucre pour rester agréable).

1.33. Arôme de la boisson : identification des espèces

Le citron apporte du limonène et du citral (écorce) et de l'acide citrique (jus). On cherche l'espèce responsable du goût acidulé.

Figure 4 : formules topologiques du citral et de l'acide citrique, représentées côte à côte. — Figure 4 : Formules topologiques du citral et de l'acide citrique.

Données IR : O–H (3200–3700, forte et large) ; C–H (2850–3100) ; C=C (1620–1680, faible) ; C=O (1650–1730, forte et fine).

Q15

ANAVAL

T1.2

Attribuer chacun des deux spectres au citral et à l'acide citrique. Justifier.

Spectre A : spectre infrarouge : transmittance en fonction du nombre d’onde, de 4000 à 500 cm⁻¹. Plusieurs bandes d’absorption, de largeurs et d’intensités différentes, sont à repérer. — Figure 5 (a) : Spectre A.

Spectre B : spectre infrarouge : transmittance en fonction du nombre d’onde, de 4000 à 500 cm⁻¹. Plusieurs bandes d’absorption, de largeurs et d’intensités différentes, sont à repérer. — Figure 5 (b) : Spectre B.

Q16

ANAVAL

T1.9

Choisir, en justifiant, le solvant (eau, acétate d'éthyle, cyclohexane) permettant d'extraire simultanément le citral, l'acide citrique et le limonène.

Solubilités, limonène : faible (eau), grande (cyclohexane) ; citral : très faible (eau), convenable (acétate), grande (cyclohexane) ; acide citrique : grande (eau), convenable (acétate), nulle (cyclohexane). Miscibilité avec l'eau : acétate faible, cyclohexane nulle.

Q17

ANAVAL

T1.9

En analysant le chromatogramme, déterminer l'espèce du citron présente dans la boisson, responsable du goût acidulé.

Figure 6 : chromatogramme : dépôts K (extrait), C (citral), L (limonène), A (acide citrique) ; la tache de K est à la même hauteur que A — Figure 6 : Schéma du chromatogramme obtenu (K, C, L, A).

Exercice 25.5 pts≈ 1 h

La yaourtière

T3.2·Premier principe / bilans thermiques

#capacité thermique#énergie thermique#rendement#bilan d'énergie#loi de Newton (refroidissement)#flux thermique#temps caractéristique

La fabrication d'un yaourt maison repose sur une fermentation à 43 °C pendant ≈ 8 h, suivie d'un refroidissement. On étudie les bilans d'énergie de la phase de chauffage puis le refroidissement d'un pot dans le réfrigérateur.

Photo d'une yaourtière électrique avec ses pots — Un exemple de yaourtière.

2.11. Fabrication des yaourts

Système $\{S\}$ = yaourtière + 7 pots. Données : $C = 4{,}0\times10^{3}\ \text{J·K}^{-1}$ ; $\theta_\text{fab} = 43\ \degree\text{C}$ ; $\theta_\text{amb} = 20\ \degree\text{C}$ ; $P_A = 150\ \text{W}$ (chauffage, étape A) ; $P_B = 20\ \text{W}$ (maintien, étape B) ; phase totale 8 h ; 1 kWh = 3 600 kJ.

REA

T3.2

Montrer que l'énergie thermique à transférer au système $\{S\}$ lors de l'étape A est voisine de $9{,}2\times10^{4}\ \text{J}$ .

REAVAL

T3.2

Calculer la durée Δt_A (85 % de l'énergie électrique est transférée à $\{S\}$ ) et en déduire que Δt_B ≈ 7 h 50 min.

REAVALCOM

T3.2

Estimer le prix de fabrication d'un yaourt maison. L'argument du coût est-il vérifié ?

Coûts : 1 kWh = 0,20 € ; 1 L de lait = 1,05 € ; 1 sachet de 2 g de ferments = 0,64 € ; 1 yaourt industriel comparable = 0,35 €. Recette : 700 mL de lait + 1 sachet → 7 yaourts.

2.22. Refroidissement d'un pot dans le réfrigérateur

Système $\{P\}$ = pot + couvercle + yaourt. Loi de Newton : $\Phi = h\,S\,(\theta - \theta_\text{réfri})$ avec $h = 10\ \text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}$ , $S = 0{,}019\ \text{m}^2$ , $m = 0{,}19\ \text{kg}$ , $\theta_\text{réfri} = 4{,}0\ \degree\text{C}$ , $\theta_0 = 30\ \degree\text{C}$ , $c_Y = 2{,}5\times10^{3}\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}$ .

APP

T3.2

Nommer les trois modes de transfert thermique permettant le refroidissement.

REAVAL

T3.2

Calculer le flux thermique initial Φ₀ et indiquer, en justifiant, comment il varie au cours du temps.

REAVAL

T3.2

Indiquer la température finale, puis montrer que l'énergie perdue par $\{P\}$ est voisine de 12 kJ.

REA

T3.2

Calculer la durée Δt₀ nécessaire pour transférer 12 kJ à la puissance Φ₀.

REACOM

T3.2

Tracer l'allure de $\theta(t)$ (températures initiale et finale) et faire apparaître une méthode graphique de détermination du temps caractéristique $\tau$ .

REAVALCOM

T3.2

Comparer $\tau$ à $\Delta t_0$ (Q7). Commenter.

Exercice 35.5 pts≈ 1 h

Le satellite TESS

T2.4·Mouvement dans un champ de gravitation T2.2·Deuxième loi de Newton T2.1·Décrire un mouvement (vecteurs vitesse/accélération)

#interaction gravitationnelle#deuxième loi de Newton#mouvement circulaire uniforme#repère de Frenet#troisième loi de Kepler#transit d'exoplanète#petits angles

Le satellite TESS recherche des exoplanètes par la méthode des transits. On étudie le système « TOI 270 » : deux exoplanètes en orbite circulaire uniforme autour de l'étoile E.

Données : $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{m}^3\text{·kg}^{-1}\text{·s}^{-2}$ ; petits angles : $\tan\alpha \approx \alpha$ . $R_1 = 6{,}77\times10^{6}\ \text{km}$ , $R_2 = 1{,}08\times10^{7}\ \text{km}$ , $T_2 = 11{,}4\ \text{jours}$ , $r_E = 2{,}63\times10^{5}\ \text{km}$ , $M_E = 7{,}68\times10^{29}\ \text{kg}$ .

3.11. Étude du système « TOI 270 »

Figure 1 : trajectoire circulaire de l'exoplanète 2 autour de l'étoile E, repère de Frenet (uT, uN) — Figure 1 : Trajectoire de l'exoplanète 2 autour de l'étoile E.

REA

T2.4

Exprimer la force d'attraction gravitationnelle $\vec{F}$ exercée par E sur l'exoplanète 2, en fonction de $M_2, M_E, G, R_2$ et $\vec{u_N}$ .

ANAREA

T2.2

À l'aide de la deuxième loi de Newton, établir $v_2 = \sqrt{\dfrac{G\,M_E}{R_2}}$ .

ANAREA

T2.4

Établir que $M_E = \dfrac{4\pi^2\,R_2^{\,3}}{G\,T_2^{\,2}}$ .

REAVAL

T2.4

Vérifier que la masse $M_E$ déduite est voisine de la valeur du tableau.

ANAREA

T2.4

À l'aide de la 3ᵉ loi de Kepler, déterminer la période $T_1$ de l'exoplanète 1 (en jours).

3.22. Mesure de la période T₁ par la méthode des transits

Lorsqu'une exoplanète passe devant l'étoile, la puissance lumineuse reçue par la caméra diminue (transit). On admet $\Delta P_\text{lum} = \left(\dfrac{r_1}{r_E}\right)^2$ .

Figure 2 : géométrie du transit : exoplanète 1 au début (ti) et à la fin (tf), demi-angle α au centre de l'étoile — Figure 2 : Positions au début et à la fin du transit.

Figure 3 : puissance lumineuse relative reçue de l’étoile en fonction du temps. La courbe est plate, puis présente un creux pendant le transit de l’exoplanète, avant de remonter. La profondeur du creux est notée ΔPlum et l’instant de fin de transit tf. — Figure 3 : P_lum en fonction du temps lors d'un transit.

ANA

T2.1

Indiquer qualitativement l'influence de la taille de l'exoplanète sur ΔP_lum.

REAVAL

T2.1

Vérifier que le rayon $r_1$ de l'exoplanète 1 vaut environ $1{,}7\times10^{4}\ \text{km}$ .

ANAREAVAL

T2.4

À l'aide des figures 2 et 3 (et de l'approximation des petits angles), estimer la période $T_1$ et commenter.

Méthodologie · Bac

Chaque corrigé suit une méthodologie de rédaction rigoureuse, avec formule littérale annoncée, étapes de calcul détaillées, analyse dimensionnelle et phrase de conclusion explicite. Compétences APP / ANA / REA / VAL / COM affichées par question pour cibler les attendus officiels de la grille d'évaluation Bac.