Bac 2026Centres étrangers · Jour 2Corrigé complet

Cyclotron Arronax (2ᵉ loi de Newton · nucléaire · radioactivité) · Acide azélaïque en cosmétique (prédominance · titrage) · Estérification (réaction non totale)

Durée : 3 h 3020 points3 exercices

Chapitres BO travaillés

T2.3·Mouvement dans un champ uniforme T2.2·Deuxième loi de Newton T1.5·Transformations nucléaires T1.7·Comparer la force des acides et des bases T1.3·Analyser un système par des méthodes chimiques (titrages)T1.9·Élaborer des stratégies en synthèse organique T1.6·Sens d'évolution spontanée (équilibre, pile)

PDF du sujet officiel

Session 2026 Centres étrangers J2. Trois exercices indépendants : l'accélérateur de particules cyclotron Arronax (mécanique, transformations nucléaires, radioactivité) ; l'acide azélaïque en cosmétique (nomenclature, diagramme de prédominance, titrage d'un diacide) ; et l'estérification, une synthèse non totale (taux d'avancement, constante d'équilibre).

Exercice 111 pts≈ 1 h 50

Le cyclotron Arronax

T2.3·Mouvement dans un champ uniforme T2.2·Deuxième loi de Newton T1.5·Transformations nucléaires

#deuxième loi de Newton#champ électrique uniforme#équations horaires#énergie cinétique#réaction nucléaire#radioactivité β+#décroissance radioactive#demi-vie

Le cyclotron Arronax (Nantes) accélère des ions $\text{H}^-$ pour produire des radioisotopes médicaux. On étudie d'abord l'accélération dans la zone entre les cavités, puis la production du fluor 18 et son utilisation en scintigraphie.

Photo du cyclotron Arronax au CHU de Nantes — Le cyclotron Arronax (CHU de Nantes).

1.11. Fonctionnement du cyclotron

L'ion $\text{H}^-$ (masse $m = 1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}$ , charge $q = -e$ ) est émis en O sans vitesse. Entre les plaques distantes de $d = 5{,}0\ \text{mm}$ règne le champ $E = U/d$ avec $U = 65\ \text{kV}$ . $g = 9{,}81\ \text{N·kg}^{-1}$ , $e = 1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}$ .

Schéma simplifié du cyclotron : canon, trajectoires spiralées des ions H⁻, extracteur et cible — Figure 1 : Schéma simplifié d'un cyclotron.

Zoom sur la zone accélératrice : ion H⁻ émis en O, axe x, plaques séparées par la distance d — Figure 2 : Agrandissement de la zone accélératrice lors de la sortie de l'ion H⁻.

REAVAL

T2.2

Montrer que le poids de l'ion est négligeable devant la force électrique $F_e$ .

REACOM

T2.2

Représenter sur le schéma le champ $\vec{E}$ et la force $\vec{F_e}$ sur l'ion.

REA

T2.2

Exprimer l'accélération $a_x$ en fonction de $e$ , $U$ , $d$ , $m$ (2ᵉ loi de Newton).

1 ptREA

T2.3

Montrer que $v_x(t) = \dfrac{eU}{md}\,t$ et $x(t) = \dfrac{1}{2}\dfrac{eU}{md}\,t^2$ .

REA

T2.3

Calculer la vitesse $v_\text{sortie}$ de l'ion après le premier passage, lorsque $x(t) = d$ .

REAVAL

T2.3

Vérifier que l'énergie cinétique à la sortie vaut $E_C = 1{,}0\times10^{-14}\ \text{J}$ .

1 ptANAREA

T2.3

À chaque passage l'ion gagne $1{,}0\times10^{-14}\ \text{J}$ . En sortie, son énergie est de 70 MeV. Calculer le nombre de tours complets effectués.

1.22. Production du fluor 18 et scintigraphie

Le fluor 18 ( $Z=9$ ) est produit en bombardant de l'oxygène 18 ( $Z=8$ ) par des protons. Données : $h = 6{,}63\times10^{-34}\ \text{J·s}$ , $E = \dfrac{hc}{\lambda}$ , $1\ \text{eV} = 1{,}60\times10^{-19}\ \text{J}$ , $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ .

Spectre électromagnétique : rayons γ, rayons X, UV, visible, IR, micro-ondes, ondes radio, en fonction de la longueur d'onde λ — Domaines des ondes électromagnétiques.

Patient allongé entrant dans une gamma-caméra (scintigraphie) — Examen de scintigraphie par gamma-caméra.

Courbe de décroissance radioactive du fluor 18 : pourcentage de noyaux restants N(t)/N₀ en % en fonction du temps en secondes — Évolution du pourcentage de noyaux de fluor 18 restants en fonction du temps.

REA

T1.5

Écrire l'équation de la réaction nucléaire formant le fluor 18 (un neutron ${}^{1}_{0}\text{n}$ est aussi produit).

APPREA

T1.5

La désintégration du fluor 18 est de type $\beta^+$ . Nommer la particule émise et écrire l'équation.

Q10

1 ptREAVAL

T1.5

Calculer la longueur d'onde du photon d'énergie moyenne 511 keV. Justifier l'emploi d'une gamma-caméra.

Q11

REA

T1.5

Montrer que $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ est solution de $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$ .

Q12

APPANA

T1.5

Définir, puis déterminer graphiquement le temps de demi-vie $t_{1/2}$ du fluor 18.

Q13

REA

T1.5

Calculer la constante radioactive $\lambda$ .

Q14

REAVAL

T1.5

Déterminer le pourcentage de traceur restant après l'analyse des clichés (1 h d'attente + 30 min d'imagerie).

Q15

1 ptREACOM

T1.5

Calculer la durée nécessaire pour qu'il reste moins de 1 % du traceur. Commenter.

Exercice 25 pts≈ 50 min

L'acide azélaïque dans les cosmétiques

T1.7·Comparer la force des acides et des bases T1.3·Analyser un système par des méthodes chimiques (titrages)

#formule topologique#nomenclature#diagramme de prédominance#pKa#titrage d'un diacide#pourcentage massique

L'acide azélaïque $\text{HOOC}-(\text{CH}_2)_7-\text{COOH}$ est un diacide utilisé en dermatologie. On étudie sa molécule puis on vérifie le pourcentage massique annoncé d'un sérum commercial par titrage.

Flacon de sérum Acide Azélaïque 10 % de la marque AROMA ZONE — Sérum commercial à l'acide azélaïque 10 % étudié.

2.11. Propriétés de la molécule

Diacide faible noté $\text{AH}_2$ : $\text{p}K_{a1} = 4{,}55$ et $\text{p}K_{a2} = 5{,}50$ . Nomenclature : 9 atomes de C → « nonane » ; 2 groupes carboxyle → suffixe « dioïque ».

REA

T1.7

Écrire la formule topologique de l'acide azélaïque.

APP

T1.7

Entourer le(s) groupe(s) caractéristique(s) et nommer la fonction.

APPREA

T1.7

Nommer la molécule en nomenclature officielle.

REA

T1.7

Établir le diagramme de prédominance.

VAL

T1.7

Déterminer la forme prédominante à $\text{pH} = 4{,}7$ (peau du visage).

2.22. Dosage du sérum commercial

On verse $V_\text{sérum} = 30{,}0\ \text{mL}$ dans une fiole de 100,0 mL (sérum dilué). On titre $V_a = 10{,}0\ \text{mL}$ par la soude $C_b = 0{,}200\ \text{mol·L}^{-1}$ : $\text{AH}_2 + 2\,\text{HO}^- \rightarrow \text{A}^{2-} + 2\,\text{H}_2\text{O}$ . Données : $d_\text{sérum} = 1{,}03$ , $M = 188{,}2\ \text{g·mol}^{-1}$ , $u(w) = 0{,}4\,\%$ .

Courbe de suivi pH-métrique du titrage de l'acide azélaïque par la soude, avec courbe dérivée dpH/dV indiquant le volume équivalent — Figure 1 : Courbe de titrage pH-métrique et courbe dérivée d'(pH)/d'V.

APPCOM

T1.3

Schématiser et légender le montage du titrage (espèces titrante et titrée).

2 ptsANAREA

T1.3

Montrer, en exploitant le titrage, que la masse d'acide dans un flacon vaut 3,3 g.

1 ptVAL

T1.3

En déduire si le pourcentage massique expérimental est cohérent avec les 10 % annoncés.

Exercice 34 pts≈ 40 min

Une synthèse non totale : l'estérification

T1.9·Élaborer des stratégies en synthèse organique T1.6·Sens d'évolution spontanée (équilibre, pile)

#estérification#montage à reflux#catalyseur#taux d'avancement#constante d'équilibre#rendement

On synthétise un ester par estérification entre l'acide éthanoïque et l'éthanol (0,150 mol de chaque, catalyse acide, reflux). On étudie le montage puis le caractère non total de la réaction.

3.11. Mode opératoire

Équation : $\text{CH}_3\text{COOH} + \text{C}_2\text{H}_5\text{OH} \rightleftharpoons \text{CH}_3\text{COOC}_2\text{H}_5 + \text{H}_2\text{O}$ . Masses molaires : $M(\text{H}) = 1{,}0$ , $M(\text{C}) = 12{,}0$ , $M(\text{O}) = 16{,}0\ \text{g·mol}^{-1}$ .

Trois montages proposés pour l'estérification : Montage 1 (distillation), Montage 2 (reflux avec bain d'eau thermostaté), Montage 3 (reflux à air) — Trois montages proposés pour réaliser la synthèse de l'ester.

APPREA

T1.9

Choisir un montage adapté. Indiquer l'intérêt des éléments 1 et 2.

APP

T1.9

Indiquer le rôle de l'acide sulfurique et l'intérêt de son ajout.

REA

T1.9

Calculer la masse d'ester si la réaction était totale.

3.22. Une réaction non totale

À l'équilibre, $K = 4{,}0$ . Le polynôme $(K-1)\tau^2 + 2K\tau + K = 0$ (avec ici la forme $K = \tfrac{\tau^2}{(1-\tau)^2}$ ) donne deux solutions $\tau_1 = 0{,}67$ et $\tau_2 = 2{,}0$ .

ANAREA

T1.6

Rappeler la définition du taux d'avancement final $\tau$ et montrer que $K = \dfrac{\tau^2}{(1-\tau)^2}$ .

VAL

T1.6

Choisir, en justifiant, le taux d'avancement final réel parmi $\tau_1$ et $\tau_2$ .

REA

T1.9

Déterminer la masse d'ester réellement produite.

ANACOM

T1.9

Proposer deux modifications pour améliorer le rendement.

Méthodologie · Bac

Chaque corrigé suit une méthodologie de rédaction rigoureuse, avec formule littérale annoncée, étapes de calcul détaillées, analyse dimensionnelle et phrase de conclusion explicite. Compétences APP / ANA / REA / VAL / COM affichées par question pour cibler les attendus officiels de la grille d'évaluation Bac.