Le cyclotron Arronax : accélération, radioisotopes et scintigraphie · L'acide azélaïque dans les cosmétiques · Une synthèse non totale, l'estérification

Montrer que la valeur de la norme du poids de l'ion $\text{H}^-$ est négligeable devant la valeur de la norme de la force électrique $\vec{F_e}$ qui s'applique sur l'ion.

Reproduire, sur la copie, la figure 2. Compléter ce schéma en faisant apparaitre, sans soucis d'échelle, la force électrique $\vec{F_e}$ qui s'applique sur l'ion $\text{H}^-$ et le champ électrique $\vec{E}$ présent dans tout l'espace entre les plaques.

Exprimer l'accélération $a_x$ de l'ion $\text{H}^-$ dans la zone accélératrice en fonction de $e$, $U$, $d$ et $m$, en utilisant la deuxième loi de Newton.

Montrer alors que la vitesse et la position de l'ion $\text{H}^-$ lors du passage dans la zone accélératrice, sur l'axe $x$, peuvent s'écrire :

Calculer la valeur de la vitesse $v_\text{sortie}$ de l'ion $\text{H}^-$ après le premier passage dans la zone accélératrice lorsque $x(t) = d$.

Vérifier que l'énergie cinétique de l'ion $\text{H}^-$ à la sortie de la zone accélératrice vaut $E_C = 1{,}0 \times 10^{-14}\ \text{J}$.

À chaque passage entre les plaques, les particules gagnent une énergie cinétique égale à $1{,}0 \times 10^{-14}\ \text{J}$. Par contre, les particules n'acquièrent pas d'énergie cinétique dans les cavités. En sortie du cyclotron, les particules possèdent une énergie cinétique de 70 MeV.

Calculer le nombre de tours complets que les particules ont effectués avant la sortie du cyclotron.

Pour cette question, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Pour former le fluor 18, les protons $\text{H}^+$ (dont la représentation symbolique est $^{1}_{1}\text{H}$) accélérés par le cyclotron bombardent une cible riche en oxygène 18. Lors de cette réaction, un neutron (noté $^{1}_{0}n$) est également produit.

Écrire l'équation de la réaction nucléaire conduisant à la formation du fluor 18.

Le fluor 18 contenu dans le traceur radioactif se désintègre par radioactivité β⁺.

Donner le nom et le symbole de la particule émise lors d'une désintégration radioactive β⁺. Écrire l'équation de la transformation nucléaire qui correspond à cette désintégration.

Cette désintégration est accompagnée de l'émission de photons dont l'énergie moyenne est de 511 keV.

Calculer la longueur d'onde correspondant à l'énergie moyenne transportée par le photon. Justifier alors l'utilisation d'une gamma-caméra pour analyser ce rayonnement.

Pour la suite, on note $N_0$ le nombre de noyaux de fluor 18 contenu dans le traceur à l'instant $t = 0\ \text{s}$, correspondant au moment de l'injection, et on note $N(t)$ le nombre de noyaux de fluor 18 présent dans le corps du patient à la date $t$. L'équation différentielle donnant le nombre de noyaux est de la forme :

Montrer que l'expression $N(t) = N_0 \times e^{-\lambda \times t}$ est bien solution de l'équation différentielle précédente.

La représentation graphique ci-dessous est la modélisation du pourcentage de noyaux restants $(N(t)/N_0)$ au cours du temps. La relation entre la constante radioactive $\lambda$ et le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est $t_{1/2} = \dfrac{\ln(2)}{\lambda}$.

Définir puis déterminer graphiquement la valeur du temps de demi-vie $t_{1/2}$ du fluor 18.

Calculer la valeur de la constante radioactive $\lambda$ correspondant au fluor 18.

Déterminer le pourcentage de traceur radioactif restant dans le corps du patient après l'analyse des clichés.

Calculer la valeur de la durée nécessaire pour qu'il reste moins de 1 % de traceur radioactif dans le corps du patient. Commenter cette valeur.

Écrire la formule topologique de cette molécule.

Entourer le(s) groupe(s) caractéristique(s) et nommer les fonctions chimiques associées.

Exploiter les règles de nomenclature fournies pour nommer la molécule d'acide azélaïque en nomenclature officielle.

L'acide azélaïque est un diacide faible noté $\text{AH}_2$. Ses deux acidités, marquées par la perte d'un premier proton $\text{H}^+$ puis d'un second, peuvent être caractérisées par deux valeurs de pKa : $\text{p}K_{a1} = 4{,}55$ et $\text{p}K_{a2} = 5{,}50$.

Établir le diagramme de prédominance de l'acide azélaïque.

Déterminer la forme prédominante de l'acide azélaïque dans un milieu dont le pH vaut 4,7 (pH moyen de la peau du visage).

Schématiser et légender le montage permettant de réaliser ce titrage, en indiquant le nom et la position des espèces chimiques titrante et titrée.

L'équation de la réaction support du titrage est :

Montrer, en exploitant les résultats du titrage, que la masse d'acide azélaïque dans un flacon de sérum vaut 3,3 g.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

En déduire si le pourcentage massique déterminé expérimentalement est cohérent avec l'indication donnée par le site de vente.

Choisir parmi les montages ci-dessus un montage adapté à la synthèse de l'ester. Indiquer l'intérêt de l'élément 1 et celui de l'élément 2 sur le montage choisi.

L'équation de la réaction modélisant l'estérification étudiée est la suivante :

Indiquer le rôle de l'acide sulfurique $\text{H}_2\text{SO}_4(aq)$ et l'intérêt de son ajout.

Calculer la valeur de la masse d'ester si la réaction était totale. Le candidat peut éventuellement s'aider d'un tableau d'avancement.

Rappeler la définition du taux d'avancement $\tau$. Montrer ensuite que la constante d'équilibre $K$ de l'estérification étudiée peut s'écrire $K = \dfrac{\tau^{2}}{(1 - \tau)^{2}}$.

La relation précédente peut s'écrire sous la forme $(K - 1)\,\tau^{2} + 2K\,\tau + K = 0$. Pour l'estérification étudiée, à la température du milieu réactionnel, la constante d'équilibre $K$ est égale à 4,0. Le traitement mathématique du polynôme précédent donne deux solutions : $\tau_1 = 0{,}67$ et $\tau_2 = 2{,}0$.

Choisir, en justifiant, parmi les deux solutions $\tau_1$ et $\tau_2$, le taux d'avancement final réel de cette réaction.

Déterminer la valeur de la masse d'ester produit lors de cette synthèse.

Un chimiste souhaite optimiser le rendement $\rho$ de cette estérification en changeant des paramètres expérimentaux.

Proposer deux modifications permettant d'atteindre cet objectif.