Les 200 ans de la pastille de Vichy (acide-base, amphotère, titrage pH-métrique, incertitudes, extraction et CCM d'un arôme, dosage du sucre par étalonnage) · Le césium 137 et l'essai Trinity (radioactivité β⁻, demi-vie, activité) · L'astéroïde 2024 PT5 (gravitation, lois de Kepler, sphère de Hill, lunette astronomique)

Représenter la formule semi-développée de la base conjuguée de l'ion hydrogénocarbonate.

Justifier le caractère amphotère de l'ion hydrogénocarbonate HCO₃⁻.

Tracer le diagramme de prédominance des deux couples auxquels appartient HCO₃⁻.

En déduire que HCO₃⁻ est la forme majoritaire dans la solution S₁ (pH = 9,0).

Calculer la masse m_f d'ions hydrogénocarbonate contenus dans une pastille (données du fabricant).

Écrire l'équation de la réaction support du titrage (HCO₃⁻ titré par l'acide chlorhydrique).

La courbe représentant l'évolution du pH en fonction du volume V de solution titrante versée figure sur l'ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE.

Déterminer le volume équivalent V_E par une construction sur l'ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE.

Calculer la quantité de matière n₁ d'ions HCO₃⁻ titrés dans V₁ = 50,0 mL. (C_A = 0,50×10⁻² mol·L⁻¹.)

Montrer que la masse expérimentale d'ions HCO₃⁻ par pastille vaut m_exp = 7,3×10⁻³ g.

Vérifier si m_exp est compatible avec la valeur de référence m_f. Données : u(V_E) = 0,2 mL, u(C_A) = 0,01×10⁻² mol·L⁻¹, u(m_exp) = m_exp·√[(u(C_A)/C_A)² + (u(V_E)/V_E)²], incompatible si le quotient |m_exp − m_f|/u(m_exp) > 2.

La pastille de Vichy contient des agents d'enrobage qui lui confèrent un aspect lisse et brillant. Les agents d'enrobage sont en partie constitués d'ions carboxylate dont une représentation est donnée figure 3.

Proposer une interprétation au résultat obtenu à la question précédente en considérant la composition des agents d'enrobage.

Pour comparer la quantité d'ions hydrogénocarbonate dans une pastille avec celle contenue dans un volume d'eau minérale de la station thermale, on procède à un nouveau dosage dans lequel l'eau minérale de Vichy est titrée par la solution S_A d'acide chlorhydrique. Le pH à l'équivalence du titrage vaut 4,3.

La figure 4 présente les caractéristiques de plusieurs indicateurs colorés.

Choisir, en justifiant, un indicateur coloré adapté au titrage de l'eau de Vichy. Préciser le changement de couleur observé.

Calculer le volume V_Vichy d'eau minérale apportant autant d'HCO₃⁻ qu'une pastille (γ_me = 4,37×10³ mg·L⁻¹). Commenter.

Identifier le montage utilisé pour l'hydrodistillation.

Le distillat obtenu est constitué de deux phases : une phase huileuse odorante et une phase aqueuse. On cherche à extraire et caractériser la phase odorante du distillat en mettant en œuvre le protocole expérimental suivant :

• Étape 1 : verser dans le distillat une solution aqueuse saturée de chlorure de sodium.
• Étape 2 : verser l'ensemble dans une ampoule à décanter.
• Étape 3 : introduire avec précaution quelques millilitres de dichlorométhane.
• Étape 4 : agiter l'ampoule à décanter, laisser décanter.
• Étape 5 : recueillir la phase organique.
• Étape 6 : analyser la phase organique par chromatographie.

À partir de la figure 6, justifier le choix du dichlorométhane comme solvant d'extraction.

En déduire la nature probable de l'arôme (figure 7, dépôt 1 = arôme extrait, dépôt 2 = menthe verte).

Déterminer le nombre de groupes hydroxyle sur la molécule de saccharose (figure 9).

Vérifier l'information du fabricant (100 mL de boisson contiennent 9,5 g de sucre). Données : V_boisson = 268,0 mL, m_boisson = 276,8 g ; courbe d'étalonnage ρ = f(γ) figure 10.

Donner la composition d'un noyau de césium 137.

Écrire l'équation de désintégration β⁻ du césium 137.

Établir que N(t) vérifie l'équation différentielle dN/dt = −λN.

Vérifier que N(t) = N₀·e^(−λt) est solution.

Montrer que t₁ᐟ₂ = ln(2)/λ.

On utilise le langage de programmation Python pour simuler l'évolution du pourcentage de noyaux de césium 137 présents au sein d'un échantillon. La figure 1 présente un extrait du programme.

Le résultat de la simulation est donné sur la courbe de l'ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE.

Exploiter la courbe d'évolution du pourcentage de noyaux de césium 137 donnée dans l'ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE pour estimer la valeur de la constante radioactive du césium 137, exprimée en an⁻¹. La construction graphique devra apparaître sur l'ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE.

Recopier et compléter la ligne 9 du programme Python (le « pourcentage » désigne 100·N/N₀).

Montrer que l'activité s'écrit A(t) = A₀·e^(−λt) avec A₀ = λN₀.

L'étude de 2010 donne 48,3 Bq par gramme. Déterminer la masse de trinitite à partir de laquelle une déclaration de détention est nécessaire en 2026 (seuil d'exemption : activité massique ≤ 10 Bq·g⁻¹). Commenter.

Donner l'expression vectorielle de la force $\vec{F}_{T/L}$ exercée par la Terre sur la Lune.

En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que v_L = √(G·M_T/d_T/L).

Déterminer l'expression de la période T et retrouver la 3ᵉ loi de Kepler T²/d³ = 4π²/(G·M_T).

Calculer la distance Terre-Lune d_T/L (T = 27,3 jours).

Calculer le rayon de la sphère de Hill de la Terre r_Hill = d_T/S·(M_T/(3·M_S))^(1/3).

Indiquer si la Lune se situe dans la sphère de Hill.

À l'aide de la figure 2 et des résultats précédents, expliquer pourquoi l'astéroïde a « orbité sans jamais être capturé ».

Montrer que l'angle θ sous lequel on voit l'astéroïde vaut 1,9×10⁻⁸ rad.

Commenter la phrase « on ne pourra pas le distinguer à l'œil nu ».

Sur le schéma de l'ANNEXE 3 À RENDRE AVEC LA COPIE, tracer la marche des deux rayons lumineux issus de B à l'infini, en faisant apparaître l'image intermédiaire A₁B₁.

Montrer que le grossissement s'exprime par G = f'₁/f'₂.

Déterminer si la « Grande Lunette » de Meudon permet de distinguer deux points diamétralement opposés de l'astéroïde.