Bac 2025Polynésie · Jour 1Corrigé complet

Datation Pb-210 · Mölkky · Bolomètres de Planck

Durée : 3 h 3020 points3 exercices

Chapitres BO travaillés

T1.5·Transformations nucléaires T1.2·Analyser un système par des méthodes physiques T1.9·Élaborer des stratégies en synthèse organique T1.6·Sens d'évolution spontanée (équilibre, pile)T2.3·Mouvement dans un champ uniforme T2.2·Deuxième loi de Newton T3.2·Premier principe / bilans thermiques T4.1·Caractériser les phénomènes ondulatoires

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Session 2025 Polynésie J1. Trois exercices indépendants : la radiodatation au plomb-210 d'une carotte de glace arctique (transformations nucléaires + analyse spectro), le jeu finlandais Mölkky (projectile + énergie mécanique) et les bolomètres de Planck (bilan thermique et équa diff).

Exercice 19 pts≈ 1 h 30

Autour de la glace

T1.5·Transformations nucléaires T1.2·Analyser un système par des méthodes physiques T1.9·Élaborer des stratégies en synthèse organique T1.6·Sens d'évolution spontanée (équilibre, pile)

#plomb-210#chaîne de désintégration#ligand argent#Beer-Lambert#constante d'équilibre

Datation d'une carotte de glace arctique par radiodatation au plomb-210, puis dosage spectrophotométrique des ions Ag⁺ issus de l'ensemencement des nuages.

1.11. Chaîne de désintégration du plomb-210

Dans l'atmosphère, le plomb-210 est issu de la désintégration du radon-222. La chaîne aboutit au polonium-210 (dernier noyau radioactif).

Données

Désintégration $\beta^-$ : émission d'un électron $^{\,0}_{-1}\text{e}$
Désintégration $\alpha$ : émission d'un noyau d'hélium $^{4}_{2}\text{He}$
Demi-vies : $t_{1/2}(\text{Pb-210}) = 22{,}2$ ans · $t_{1/2}(\text{Bi-210}) = 5{,}0$ j · $t_{1/2}(\text{Po-210}) = 138$ j

Diagramme en escalier : en abscisse le numéro atomique Z, en ordonnée le nombre de neutrons N. Chaque noyau occupe une case, dont la teinte indique son état d'après une légende distinguant noyau stable, désintégration bêta plus, désintégration bêta moins, désintégration alpha et capture d'électron. Les cases sont reliées par une suite de déplacements d'une case à l'autre. — Figure 1, Diagramme (Z, N) de la chaîne de désintégration.

APPANA

T1.5

Déterminer le type de désintégration que subit le plomb-210.

APPREA

T1.5

Écrire l'équation de désintégration du plomb-210 → bismuth-210.

APPANACOM

T1.5

Identifier le noyau formé après désintégration du polonium-210. Justifier qu'il est le « dernier noyau radioactif ».

APP

T1.5

Donner la relation entre l'activité $A(t)$ et la dérivée temporelle de $N(t)$ .

ANAREA

T1.5

Établir l'équation différentielle $\dfrac{dN(t)}{dt} + \lambda N(t) = 0$ .

ANAREA

T1.5

Vérifier que $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ est solution.

ANAREA

T1.5

Démontrer $t_{1/2} = \ln(2)/\lambda$ puis calculer $\lambda_\text{Pb}$ .

ANAREAVALCOM

T1.5

En 1993, des chercheurs de Yamagata ont mesuré $A_0/A(t) = 4$ pour une couche de glace. Déterminer son âge t.

1.22. Quantification des ions Ag⁺ par spectrophotométrie

Réaction : $\text{Ag}^+(aq) + \text{ligand}(aq) \rightarrow \text{Ag(ligand)}^+(aq)$ (1).

Formule topologique : deux cycles hexagonaux reliés par un enchaînement de deux atomes d'azote doublement liés. Le cycle de gauche porte un substituant entouré et repéré par la lettre A ; le cycle de droite porte un groupe méthoxy et un substituant entouré repéré par la lettre B. — Figure 2, Structure du ligand.

APP

T1.9

Nommer le type de représentation utilisée pour le ligand.

Q10

APP

T1.9

Nommer les 2 familles fonctionnelles correspondant aux groupes A et B entourés.

Q11

APP

T1.6

Écrire la constante d'équilibre K de la réaction (1) en fonction des concentrations à l'équilibre et de $c°$ .

Q12

ANA

T1.6

Justifier que la réaction est quasi-totale si le ligand est en très fort excès.

Q13

ANAVAL

T1.2

Les solutions aqueuses contenant l'espèce chimique Ag(ligand)⁺(aq) sont colorées, ce qui permet d'utiliser une méthode de dosage spectrophotométrique. L'espèce chimique Ag(ligand)⁺(aq) possède un pic d'absorbance pour une longueur d'onde $\lambda_\text{max} = 516$ nm. On donne le cercle chromatique sur la figure 3.

Couronne circulaire partagée en douze secteurs, alternativement clairs et foncés. Six d'entre eux portent une étiquette associant un nom de couleur et une longueur d'onde : vert 530 nm en haut, jaune 570 nm, rouge 700 nm, magenta 400 nm en bas, bleu 450 nm, cyan 500 nm. Des flèches relient deux à deux les secteurs diamétralement opposés. — Figure 3 : cercle chromatique.

En vous aidant de la figure 3, déterminer la couleur des solutions aqueuses contenant l'espèce chimique Ag(ligand)⁺(aq).

Q14

APPREA

T1.3

Calculer $n_{Ag,i}$ avec $V_{Ag^+} = 1{,}0$ mL et $[\text{Ag}^+] = 7{,}4 \times 10^{-6}$ mol·L⁻¹.

Q15

ANAREA

T1.2

Déterminer le volume V_tot,L à partir duquel l'absorbance plafonne, puis $n_L$ introduit.

Nuage de points en croix. En ordonnée, l'absorbance de 0,0 à 0,5 ; en abscisse, le volume V indice L de solution de ligand en millilitres, de 0,0 à 0,9. Les premiers points croissent régulièrement, puis les suivants s'alignent sur une horizontale. Un quadrillage en pointillés permet la lecture. — Figure 4, Absorbance vs V_L.

Q16

VALCOM

T1.6

Vérifier le large excès de ligand. Commenter.

Q17

ANAREA

T1.2T1.3

Montrer (loi de Beer-Lambert) que A est proportionnelle à $c_{Ag,i}$ .

Q18

VALREA

T1.2

Vérifier la cohérence de $c_{m,max} = 1{,}5\ \mu\text{g·mL}^{-1}$ avec la limite $A_\text{max} = 0{,}9$ .

Exercice 26 pts≈ 1 h

Le Mölkky

T2.3·Mouvement dans un champ uniforme T2.2·Deuxième loi de Newton

#projectile#trajectoire parabolique#vitesse initiale#énergie mécanique

Le Mölkky, créé en 1996, est un jeu de plein air originaire de Finlande. Dans ce jeu, le joueur de Mölkky doit faire tomber des quilles en bois, à l'aide d'un bâton, afin d'atteindre un score de 50 points. Une quille tombée lui donnera le nombre de points porté sur cette dernière, compris entre 1 et 12. Plusieurs quilles tombées donneront au joueur le nombre de points correspondant au nombre de quilles au sol.

D'après cdsmr85.org

Photographie en noir et blanc d'une pelouse : une personne vient de lancer un bâton de bois, saisi en vol, en direction d'une rangée de quilles cylindriques posées debout sur l'herbe.

L'objectif de cet exercice est d'établir l'équation horaire de la trajectoire du bâton lancé et de déterminer le lieu d'impact au sol afin de prévoir une éventuelle victoire d'un joueur.

On s'intéresse au mouvement du centre de masse G du bâton lorsqu'un joueur le lance afin de faire tomber une quille. L'étude est réalisée dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on considère qu'une fois lancé, le bâton n'est soumis qu'à son poids. Pour simplifier, on suppose que le bâton ne tourne pas sur lui-même. La masse du bâton est notée m. Quand le bâton quitte la main du joueur, son centre de masse G est situé à une hauteur h par rapport au sol avec un vecteur vitesse initial $\vec{v_0}$ qui forme un angle α avec l'horizontale. On étudie le mouvement du centre de masse du système {bâton} dans le repère cartésien indiqué sur la figure 1.

Repère du plan d'origine O, d'axe horizontal x et d'axe vertical y, avec les vecteurs unitaires i et j. Le point G, à l'instant initial, est placé sur l'axe des y à une hauteur repérée par une double flèche notée h. De ce point part une flèche oblique vers le haut et la droite, notée vecteur v zéro, dont l'angle avec l'horizontale est repéré par α. — Figure 1 : schéma de la situation du lancer du bâton de Mölkky.

Données

$v_0 = 4{,}9\ \text{m·s}^{-1}$ · $h = 0{,}70\ \text{m}$ · $\alpha = 30°$ · $g = 9{,}8\ \text{m·s}^{-2}$

2.11. Équations horaires et trajectoire

APPREA

T2.2

Énoncer la 2ᵉ loi de Newton et établir $a_x(t)$ et $a_y(t)$ .

ANAREA

T2.3

Établir les expressions de $v_x(t)$ et $v_y(t)$ .

ANAREA

T2.3

Établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ .

REA

T2.3

Montrer que $y(x) = -0{,}27 x^2 + 0{,}58 x + 0{,}70$ .

ANAREAVALCOM

T2.3

Un joueur ayant déjà marqué 41 points s'apprête à lancer le bâton de Mölkky. Pour gagner, il doit atteindre exactement le score de 50 points. La configuration du jeu est représentée sur la photographie de la figure 2.

Photographie d'une allée bitumée bordée d'une haie, prise depuis le point de lancer. Un repère est tracé sur l'image : l'origine O au sol au pied du lanceur, l'axe x le long de l'allée, l'axe y vertical. Une flèche part de la mention bâton de Mölkky vers le lanceur. Trois autres flèches désignent, de gauche à droite, trois quilles posées au sol, étiquetées quille 9 valeur 9 points à x égale 3,0 m, quille 1 valeur 1 point à x égale 4,0 m et quille 5 valeur 5 points à x égale 5,0 m. — Figure 2 : photographie de la configuration du jeu avant le lancer.

Dans notre étude, la taille des quilles est considérée comme négligeable au regard des distances mises en jeu. On assimilera alors la quille à un point posé au sol. On suppose qu'il n'y a pas de rebond du bâton à la suite du lancer.

Vérifier que la partie est remportée par le joueur si le lancer est réalisé dans les conditions précisées dans les données précédentes.

Pour cette question, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

2.22. Énergie mécanique (programme Python)

Sur la figure 3, on a reproduit un extrait d'un programme Python qui permet de calculer puis de tracer les courbes représentant l'énergie cinétique $E_C$ , l'énergie potentielle de pesanteur $E_P$ et l'énergie mécanique $E_m$ du bâton de Mölkky lors de son lancer. Les données numériques utilisées sont identiques aux questions précédentes.

[...]
14      Ecl=[ ]
15      Epl=[ ]
16      Eml=[ ]
17    for i in range(len(tl)) :
18        Ec=0.5*0.4*(vxl[i]**2+vyl[i]**2)
19        Ecl.append(Ec)
20        Ep=0.4*9.81*y[i]
21        Epl.append(Ep)
22        Em=
23        Eml.append(Em)
[...]

Figure 3 : extrait du programme Python permettant de tracer les différentes énergies du bâton de Mölkky en fonction du temps (Ecl, Epl, Eml sont exprimées en J ; vx, vy sont exprimées en m·s⁻¹ et y est exprimé en m).

La figure 4 représente les courbes affichées après avoir exécuté le programme Python complet.

Trois courbes tracées sur le même graphe, en fonction du temps en secondes, avec l'énergie en joules en ordonnée. Une légende en bas à gauche les nomme seulement courbe A, en bleu à disques, courbe B, en rouge à croix, et courbe C, en vert à étoiles, sans préciser quelle grandeur chacune représente. La courbe A part d'une valeur basse, passe par un maximum vers le premier quart de la durée puis redescend jusqu'à s'annuler à la fin ; la courbe B part d'une valeur plus haute, passe par un minimum au même instant puis croît fortement ; la courbe C reste constante sur toute la durée. — Figure 4 : évolution temporelle des énergies.

ANA

T2.3

À partir de la figure 3, déterminer la masse m du bâton de Mölkky. Justifier la réponse.

REA

T2.3

Écrire et compléter, sur votre copie, la ligne 22 du programme de la figure 3 qui permet de calculer l'énergie mécanique $E_m$ du bâton de Mölkky.

ANAVAL

T2.3

Attribuer chaque courbe de la figure 4 à son énergie. Justifier.

ANAREAVAL

T2.3

Déterminer la durée de vol du bâton.

Exercice 35 pts≈ 50 min

Performances des bolomètres de Planck

T3.2·Premier principe / bilans thermiques T4.1·Caractériser les phénomènes ondulatoires

#bolomètre#rayonnement cosmologique#Stefan-Boltzmann#résistance thermique#équa diff

Le satellite Planck (ESA) a cartographié le fond diffus cosmologique (CMB), rayonnement résiduel du Big Bang. Ses bolomètres mesurent la puissance reçue par bilan thermique. $T_\text{CMB} = 2{,}725$ K, fréquence d'étude $f_0 = 217$ GHz.

3.11. Rayonnement et puissance reçue

APPREA

T4.1

Calculer $\lambda_0$ correspondant à $f_0 = 217$ GHz. Nommer le domaine.

REA

T3.2

Montrer que la puissance $P_\text{CMB}$ reçue par le bolomètre de la part du CMB au travers du filtre vaut $P_\text{CMB} = 7{,}82 \times 10^{-14}\ \text{W}$ .

3.22. Bilan thermique et équation différentielle

Les bolomètres, comme indiqué sur le schéma simplifié ci-après, sont composés d'une partie sensible au rayonnement et d'un thermostat. L'énergie cédée par le rayonnement à la partie sensible provoque une élévation de sa température. Cette partie sensible est en contact avec un thermostat plus froid qui permet d'évacuer l'énergie reçue, le matériau permettant le contact possède une résistance thermique $R_\text{contact}$ .

Schéma en coupe. Trois grosses flèches verticales descendantes, légendées CMB, arrivent sur une plaque horizontale claire notée filtre. Sous elle, un bloc sombre est légendé partie sensible. Ce bloc est relié vers le bas, par une tige légendée matériau permettant le contact de résistance thermique R indice contact, à une barre horizontale légendée thermostat. — Schéma simplifié d'un bolomètre.

On cherche à modéliser l'évolution de la température de la partie sensible en fonction du temps par un bilan d'énergie. On note $T_T$ la température du thermostat et $T$ la température de la partie sensible du bolomètre.

Donnée

La puissance $P_\text{syst}$ reçue par un système S à la température $T_\text{syst}$ en contact avec un thermostat à la température $T_0$ par l'intermédiaire d'une résistance thermique $R_\text{th}$ s'exprime :

P_\text{syst} = -\,\dfrac{T_\text{syst} - T_0}{R_\text{th}}

APPREA

T3.2

Exprimer la puissance $P_T$ reçue de la part du thermostat. Justifier le signe.

ANAREA

T3.2

Exprimer le transfert thermique total $Q_\text{tot}$ pendant Δt en fonction de $P_\text{CMB}, T, T_T, \Delta t, R_\text{contact}$ .

APP

T3.2

Énoncer le 1ᵉʳ principe de la thermodynamique (noms + unités).

ANAVAL

T3.2

On démontre que l'équation différentielle régissant l'évolution de la température en fonction du temps est donnée par :

\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \dfrac{T}{R_\text{contact} \cdot C_\text{bolo}} = \dfrac{P_\text{CMB}}{C_\text{bolo}} + \dfrac{T_T}{R_\text{contact} \cdot C_\text{bolo}}

Données

température du thermostat relié à la partie sensible : $T_T = 0{,}1\ \text{K}$ ;
résistance thermique du matériau qui permet le contact entre la partie sensible du bolomètre et le thermostat : $R_\text{contact} = 3{,}75 \times 10^{9}\ \text{K·W}^{-1}$ ;
capacité thermique de la partie sensible du bolomètre : $C_\text{bolo} = 0{,}40 \times 10^{-12}\ \text{J·K}^{-1}$ ;
dans le système international d'unités, le watt est équivalent à des joules par seconde J·s⁻¹.

Par une analyse dimensionnelle, montrer que la quantité $\tau = R_\text{contact} \cdot C_\text{bolo}$ est homogène à un temps, appelé temps caractéristique. Calculer sa valeur.

ANAREA

T3.2

Sachant que la fonction $T(t) = T_T + T_1 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ est la solution de l'équation différentielle satisfaisant à la condition initiale $T(0) = T_T$ , donner l'expression de $T_1$ ainsi que sa valeur.

ANAREAVALCOM

T3.2

On admet que le bolomètre réalise une mesure de puissance fiable, dès que sa température se stabilise, au bout d'une durée égale à $5\,\tau$ .

Afin d'étudier le CMB, le ciel est divisé en petites zones. Le satellite Planck balaie chaque zone pendant une durée $\Delta t_\text{scan} = 14\ \text{ms}$ .

Montrer que le bolomètre du satellite Planck peut obtenir une mesure fiable du CMB.

Méthodologie · Bac

Chaque corrigé suit une méthodologie de rédaction rigoureuse, avec formule littérale annoncée, étapes de calcul détaillées, analyse dimensionnelle et phrase de conclusion explicite. Compétences APP / ANA / REA / VAL / COM affichées par question pour cibler les attendus officiels de la grille d'évaluation Bac.

[...] 14 Ecl=[ ] 15 Epl=[ ] 16 Eml=[ ] 17 for i in range(len(tl)) : 18 Ec=0.5*0.4*(vxl[i]**2+vyl[i]**2) 19 Ecl.append(Ec) 20 Ep=0.4*9.81*y[i] 21 Epl.append(Ep) 22 Em= 23 Eml.append(Em) [...]