Savon : estérification, mécanisme de saponification et dureté de l'eau · Jeu de billes et gravité · Utilisation médicale du technétium 99

Représenter la formule topologique de l'éthanoate de linalyle, puis entourer le groupe caractéristique de cette molécule et nommer la famille fonctionnelle correspondante.

L'éthanoate de linalyle est synthétisé en faisant réagir du linalol avec de l'acide éthanoïque. L'équation de la réaction modélisant cette transformation chimique, appelée estérification, est :

Cette synthèse est une transformation chimique lente et non totale. On souhaite étudier l'évolution temporelle de l'avancement, noté $x$, de cette réaction. Pour cela, on titre la quantité de matière d'acide éthanoïque restant dans le milieu réactionnel, par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium à différentes dates $t$ au cours de la transformation.

Écrire l'équation de la réaction support du titrage.

Préalablement à cette expérience, on cherche à vérifier le caractère total de la transformation support du titrage. Pour cela, on introduit un volume $V_B = 5{,}0\ \text{mL}$ d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration $c_B = 1{,}0 \times 10^{-2}\ \text{mol·L}^{-1}$ dans un volume $V_A = 50{,}0\ \text{mL}$ d'une solution d'acide éthanoïque. Dans ces conditions, l'acide éthanoïque est en excès. Le pH du mélange à 25 °C est de 4,6.

Calculer, en utilisant la valeur de $K_e$, la concentration finale en quantité de matière en ions hydroxyde, notée $[\text{HO}^-]_f$, dans ce mélange de volume $V_A + V_B$. En déduire que la quantité de matière $n_f(\text{HO}^-)$ à l'état final dans le mélange est d'environ $2{,}2 \times 10^{-11}$ mol.

Comparer cette valeur à celle de la quantité d'ions hydroxyde introduite initialement puis commenter.

On effectue expérimentalement le suivi temporel de l'estérification. Les résultats obtenus permettent de représenter l'évolution de la quantité de matière d'éthanoate de linalyle formé, notée $n_\text{ester}$, au cours du temps.

Exprimer la vitesse volumique d'apparition de l'éthanoate de linalyle, notée $v_\text{ester}$, en fonction du volume $V$ du milieu réactionnel et de $n_\text{ester}$.

Décrire, en justifiant, l'évolution de la vitesse volumique d'apparition de l'éthanoate de linalyle au cours du temps. Proposer un facteur cinétique à l'origine de cette évolution.

Le rendement de cette synthèse est faible. Afin de l'améliorer, il est possible d'envisager un montage permettant l'élimination de l'eau produite au cours de la réaction. Le système étant homogène, on admet que la constante d'équilibre $K$ de la réaction d'estérification s'écrit :

où $n(X)_\text{éq}$ représente la quantité de matière de l'espèce $X$ dans le milieu réactionnel à l'équilibre chimique.

Expliquer en quoi l'élimination de l'eau au cours de la synthèse permet d'améliorer le rendement.

Indiquer, en justifiant, la nature et la position de la phase dans laquelle se trouve l'éthanoate de linalyle à la fin de l'étape n° 2.

Pour vérifier la composition de la phase organique, on l'analyse à l'aide d'une chromatographie sur couche mince. Après révélation à l'aide d'une solution de permanganate de potassium, on obtient le chromatogramme reproduit sur la figure 2.

Identifier, en justifiant, les espèces présentes dans la phase organique. Commenter.

La synthèse est réalisée une seconde fois en conservant l'ensemble des paramètres expérimentaux (température, durée de l'expérience, quantités de matière initiales), mais en ajoutant une très faible quantité d'un acide, l'APTS (acide paratoluènesulfonique), dans le ballon lors de l'étape 1. Le volume de la phase organique alors recueillie est de 9,4 mL et le chromatogramme obtenu est reproduit sur la figure 3.

Déterminer l'intérêt de l'ajout d'APTS dans le milieu réactionnel.

Après avoir montré que le linalol est le réactif limitant dans la transformation chimique étudiée, calculer le rendement de la synthèse avec ajout d'APTS.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Identifier, en justifiant à l'aide des électronégativités, le site accepteur d'électrons (site électrophile) de la molécule d'ester.

Recopier la première étape du mécanisme sur la copie, puis la compléter à l'aide de flèches courbes.

Indiquer, pour chacune des trois étapes, le type de réaction mise en jeu.

Dureté d'une eau et pouvoir moussant d'un savon

En présence d'ions calcium $\text{Ca}^{2+}$ et magnésium $\text{Mg}^{2+}$, les ions carboxylate présents dans un savon forment un précipité entraînant la diminution de son pouvoir moussant. La dureté de l'eau influe donc sur l'efficacité d'un savon.

Le volume à l'équivalence $V_E = 17{,}6\ \text{mL}$ est repéré par le changement de couleur de l'indicateur coloré. L'incertitude-type associée à ce volume est $u(V_E) = 0{,}1\ \text{mL}$. Dans ces conditions, l'EDTA réagit avec les ions calcium et magnésium contenus dans l'eau selon l'équation support de titrage suivante :

Établir que la relation suivante est vérifiée à l'équivalence du titrage : $[\text{X}^{2+}] = \dfrac{c \cdot V_E}{V_\text{eau}}$.

Calculer la valeur du titre hydrotimétrique TH de l'eau étudiée, puis déterminer l'incertitude-type u(TH) associée à cette mesure, sachant que :

Comparer, en justifiant, le pouvoir moussant d'un savon dans l'eau titrée avec celui dans une eau dont la dureté serait de 30 °f.

Déterminer la masse volumique $\rho$ de la bille. En déduire la nature probable du matériau qui la constitue.

On relève la position de la bille par chronophotographie. On détermine alors, par un traitement numérique, la valeur de la vitesse $v$ de la bille à chaque instant, puis on représente graphiquement sur la figure 2 les évolutions au cours du temps de son énergie cinétique $E_\text{c}$, de son énergie potentielle $E_\text{p}$ et de son énergie mécanique $E_\text{m}$.

Identifier, parmi les courbes 1, 2 et 3, en justifiant, la courbe représentant l'évolution de l'énergie cinétique ainsi que celle représentant l'évolution de l'énergie potentielle de pesanteur sur la figure 2.

Décrire l'évolution temporelle de l'énergie mécanique de la bille à partir des données expérimentales. Commenter.

Expliquer pourquoi le programme présenté en figure 4 ne permet pas de calculer l'énergie cinétique aux points A et B.

Recopier et compléter les lignes 81 et 84 du programme écrit en langage Python présenté en figure 4 afin qu'il calcule les énergies potentielle $E_\text{p}$ et mécanique $E_\text{m}$.

Lors du mouvement étudié sur cette portion du circuit, la bille roule sans glisser. Son énergie cinétique, qui tient compte de la rotation de la bille sur elle-même, est exprimée par la relation suivante :

En appliquant la conservation de l'énergie mécanique entre l'instant initial $t = 0$ et l'instant $t$, montrer que l'expression de la vitesse de la bille à l'instant $t$ s'écrit :

avec $h(t)$ la hauteur de chute, c'est-à-dire la différence d'altitude du centre de masse de la bille entre l'instant initial $t = 0$ et l'instant $t$.

L'évolution observée du carré de la vitesse en fonction de la hauteur de chute $h(t)$ est représentée sur la figure 5. Les points expérimentaux sont modélisés par une droite d'équation $v^2(t) = k \cdot h(t)$.

Justifier que l'équation de la modélisation de la figure 5 est cohérente avec l'expression donnée en Q6.

Déterminer la relation entre l'intensité de la pesanteur $g$ et la constante $k$. Calculer la valeur de l'intensité de la pesanteur $g$ dans cette expérience, sachant que l'analyse des résultats reportés sur la figure 5 donne la valeur $k = 14{,}53\ \text{m·s}^{-2}$.

On reproduit sept fois la chute de la bille et on rassemble les valeurs de l'intensité de la pesanteur déterminées pour chacune des expériences dans le tableau suivant.

Un traitement statistique des données du tableau précédent permet d'obtenir que l'incertitude-type sur la mesure de l'intensité moyenne de la pesanteur est $u(g_\text{moy}) = 0{,}11\ \text{m·s}^{-2}$.

Discuter de l'accord du résultat de la mesure de l'intensité moyenne de la pesanteur issu des huit expériences avec sa valeur de référence. Conclure sur l'utilisation de cette méthode pour mesurer la valeur de l'intensité de la pesanteur avec ce jeu.

Donner la composition du noyau de molybdène 99.

Rappeler la définition des termes « noyaux isotopes ». En déduire, à l'aide du diagramme (N,Z), deux isotopes stables du molybdène 99.

Écrire l'équation de la désintégration des noyaux de molybdène 99 en noyaux de technétium 99. Donner le nom de la particule émise lors de cette désintégration.

Après avoir rappelé la définition du temps de demi-vie, justifier que les services de médecine nucléaire bénéficient d'une source de technétium 99 pour quelques jours seulement.

Vérifier que l'énergie des photons émis par le $^{99}\text{Tc}^*$ est compatible avec l'utilisation d'une gamma-caméra pour réaliser les clichés lors d'une scintigraphie.

Justifier l'utilisation d'un protège-seringue possédant un blindage à base de verre au plomb pour la réalisation de l'injection de la solution au patient.

Résoudre l'équation différentielle afin d'exprimer le nombre de noyaux radioactifs de technétium $^{99}\text{Tc}^*$ à l'instant $t$, noté $N(t)$, en fonction du nombre initial de noyaux radioactifs à l'instant $t = 0$, noté $N_0$, et de la constante radioactive $\lambda$.

Montrer que l'expression de l'activité $A(t)$ du technétium $^{99}\text{Tc}^*$ en fonction de l'activité initiale $A_0$ injectée au patient et de la constante radioactive $\lambda$ s'écrit $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$.

Montrer que la constante radioactive $\lambda$ et le temps de demi-vie $t_{1/2}$ sont reliés par la relation $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$.

Tant que l'activité du technétium $^{99}\text{Tc}^*$ dans le corps du patient est supérieure à 3 % de l'activité initiale injectée, des mesures de précaution doivent être respectées par le patient (rester éloigné des femmes enceintes et des jeunes enfants, nettoyer soigneusement les toilettes après chaque utilisation, etc.).

Déterminer la durée pendant laquelle le patient doit respecter ces précautions en supposant que la diminution de l'activité du technétium $^{99}\text{Tc}^*$ dans le corps du patient n'est due qu'à la décroissance radioactive.

Identifier, en justifiant, un avantage et un inconvénient au remplacement du technétium 99 par du thallium 201.