Bac 2024Polynésie · Jour 2Corrigé complet

Hydrolyse chlorure de tertiobutyle (cinétique ordre 1) · Masse de la Terre (Kepler + pendule) · Caléfaction

Durée : 3 h 3020 points3 exercices

Chapitres BO travaillés

T1.4·Suivre et modéliser l'évolution temporelle (cinétique)T2.4·Mouvement dans un champ de gravitation T2.2·Deuxième loi de Newton T4.1·Caractériser les phénomènes ondulatoires

PDF du sujet officiel

Session 2024 Polynésie J2. Trois exercices : suivi conductimétrique de l'hydrolyse du chlorure de tertiobutyle (cinétique d'ordre 1, équation diff [RCℓ]' = −k[RCℓ]), la mesure de la masse de la Terre par deux méthodes (satellite Astérix → 3ᵉ loi de Kepler + pendule simple), et la caléfaction (goutte d'eau sur plaque chaude : effet Leidenfrost, mesure du coussin de vapeur par diffraction laser).

Exercice 19 pts≈ 1 h 30

Hydrolyse du chlorure de tertiobutyle (cinétique conductimétrique)

T1.4·Suivre et modéliser l'évolution temporelle (cinétique)

#cinétique#conductimétrie#Kohlrausch#ordre 1#équation différentielle#demi-réaction#constante de vitesse

Étude de l'hydrolyse du chlorure de tertiobutyle : $\text{RC}\ell + 2\,\text{H}_2\text{O} \to \text{ROH} + \text{H}_3\text{O}^+ + \text{C}\ell^-$ . Le suivi se fait par conductimétrie (loi de Kohlrausch) : détermination de c₀, identification des courbes [RCℓ] et [H₃O⁺], temps de demi-réaction, équation différentielle $\dfrac{\mathrm{d}[\text{RC}\ell]}{\mathrm{d}t} = -k\,[\text{RC}\ell]$ , puis linéarisation en $\ln[\text{RC}\ell]$ pour déterminer k et vérifier $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}$ .

1.11. Suivi conductimétrique (Kohlrausch)

Le chlorure de tertiobutyle est un composé organique utilisé comme solvant pour les peintures ou comme intermédiaire dans la synthèse de certains parfums. Instable en solution aqueuse, celui-ci se décompose par hydrolyse en formant un alcool. Lorsqu'une transformation chimique lente met en jeu une espèce ionique, la conductimétrie permet d'étudier sa cinétique.

Formule semi-développée de la molécule de chlorure de tertiobutyle : un carbone central porte un atome de chlore à gauche, deux groupes CH₃ en haut et en bas, et un troisième groupe CH₃ à droite.

Données

Le chlorure de tertiobutyle a pour formule (CH₃)₃C−Cℓ. Pour simplifier, il sera noté par la suite RCℓ où le groupe alkyle R représente (CH₃)₃C− ;
Équation de l'hydrolyse : RCℓ(aq) + 2 H₂O(ℓ) → ROH(aq) + H₃O⁺(aq) + Cℓ⁻(aq) ;
masse volumique du chlorure de tertiobutyle : ρ = 0,850 g·mL⁻¹ ;
V = 1,0 mL de RCℓ versé dans V_e = 200 mL de mélange eau-propanone.

Tableau des masses molaires atomiques, à deux lignes : atomes et masses molaires en g·mol⁻¹. Carbone C : 12,0. Hydrogène H : 1,00. Chlore Cℓ : 35,5.

APPCOM

T1.9

Représenter la formule semi-développée de ROH. Entourer/nommer le groupe.

APPREA

T1.4

La courbe représentant la variation de la conductivité σ en fonction du temps t est donnée figure 1.

Donnée

La loi de Kohlrausch donne, pour une solution diluée, l'expression de la conductivité σ :

\sigma = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot [\text{X}_i]

avec λ_i la conductivité molaire ionique de l'ion X_i et [X_i] la concentration en quantité de matière de l'ion X_i.

À partir de la loi de Kohlrausch, exprimer la conductivité σ de la solution en fonction des concentrations en quantité de matière en ions oxonium H₃O⁺ et en ions chlorure Cℓ⁻, respectivement notées [H₃O⁺] et [Cℓ⁻], et des conductivités molaires ioniques de chaque ion notées λ_H₃O⁺ et λ_Cℓ⁻.

ANAREA

T1.4

En déduire σ en fonction de [H₃O⁺] uniquement.

APPVAL

T1.4

Justifier que la conductimétrie permet le suivi cinétique.

REA

T1.4

Calculer $n_0$ (chlorure de tertiobutyle introduit).

REA

T1.4

En déduire $c_0$ dans le mélange.

1.22. Évolution des concentrations

ANAVAL

T1.4

Les courbes représentant la concentration en quantité de matière en chlorure de tertiobutyle [RCℓ] et la concentration en quantité de matière en ions oxonium [H₃O⁺] en fonction du temps t sont données figure 2.

Figure 2 : deux graphiques superposés, tous deux avec en ordonnée une concentration en quantité de matière en mol·L⁻¹ graduée de 0,000 à 0,045, et en abscisse le temps t en secondes gradué de 0 à 5500. La courbe 1, en haut, part d'environ 0,046 et décroît régulièrement en s'aplatissant, jusqu'à atteindre une valeur quasi nulle en fin d'enregistrement. La courbe 2, en bas, part de zéro et croît en s'aplatissant, jusqu'à tendre vers un palier voisin de 0,046.

Associer, en justifiant votre choix, chaque courbe 1 et 2 à chacune des espèces chimiques RCℓ et H₃O⁺.

ANAVAL

T1.4

Montrer que l'hydrolyse est totale.

APP

T1.4

Définir le temps de demi-réaction t₁/₂.

Q10

ANAREA

T1.4

Estimer graphiquement t₁/₂.

1.33. Loi de vitesse et ordre 1

Q11

APP

T1.4

Exprimer la vitesse volumique de disparition $v_{\text{RC}\ell}$ .

Q12

ANAVAL

T1.4

Évolution qualitative de $v_{\text{RC}\ell}$ au cours du temps.

Q13

APPCOM

T1.4

Allure de v_RCℓ = f([RCℓ]) si ordre 1.

Q14

ANAREA

T1.4

Établir l'équation différentielle vérifiée par [RCℓ](t).

Q15

REA

T1.4

Déterminer A dans la solution [RCℓ](t) = A·e^(−kt).

1.44. Linéarisation et détermination de k

Q16

ANAREA

T1.4

La représentation graphique des variations du logarithme népérien de la concentration en chlorure de tertiobutyle ln[RCℓ] en fonction du temps t est donnée figure 3.

Figure 3 : variations de ln[RCℓ], sans unité, en fonction du temps t en secondes. L'axe des abscisses, gradué de 0 à 2000, est placé en haut du graphique ; l'axe des ordonnées est gradué de 0 en haut à −5 en bas. Le tracé est une droite qui descend régulièrement de la gauche vers la droite sur un quadrillage fin.

Calculer la valeur du coefficient directeur noté a de la droite obtenue.

Q17

2 ptsREAVALCOM

T1.4

Calculer $t_{1/2}$ par $t_{1/2} = \ln 2/k$ . Comparer à Q10.

Exercice 26 pts≈ 1 h

La masse de la Terre

T2.4·Mouvement dans un champ de gravitation T2.2·Deuxième loi de Newton

#satellite#Astérix#3e loi de Kepler#ellipse#pendule simple#période#gravitation universelle#champ de pesanteur

On mesure la masse de la Terre par deux méthodes indépendantes : (1) à partir du satellite Astérix (premier satellite français lancé en 1965, orbite elliptique → 3ᵉ loi de Kepler), et (2) à partir d'un pendule simple (mesure de g par la période T = 2π√(ℓ/g), puis MT par la 2ᵉ loi de Newton sur le pendule).

Données

$G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\text{·kg}^{-1}\text{·s}^{-2}$
Périgée Astérix : $D_{OB} = 6{,}89 \times 10^6\ \text{m}$
Apogée Astérix : $D_{OC} = 8{,}07 \times 10^6\ \text{m}$
1 400 révolutions en $\Delta t = 9{,}03 \times 10^6\ \text{s}$
Pendule : ℓ = 1,0 m · Rayon Terre $R_T = 6{,}37 \times 10^3\ \text{km}$

2.11. Méthode du satellite : 3ᵉ loi de Kepler

Premier modèle simplifié : mouvement circulaire uniforme. Étude dans le référentiel géocentrique galiléen, repère de Frenet (A, $\vec{u_T}, \vec{u_N}$ ).

REA

T2.4

On étudie le mouvement du centre de masse A d'un satellite, dans le référentiel géocentrique, considéré comme galiléen. Ce satellite est situé à une distance r = OA par rapport au centre O de la Terre. On fait l'approximation, dans un premier temps, que le mouvement du satellite est circulaire uniforme et on considère que la seule force qui s'applique sur le satellite est la force d'interaction gravitationnelle $\vec{F}_{T/A}$ exercée par la Terre, de masse M_T, sur le satellite, de masse m. Le repère de Frenet (A, $\vec{u}_T$ , $\vec{u}_N$ ) est représenté figure 1.

Figure 1 : mouvement circulaire uniforme d'un satellite A centré sur O. Un cercle en pointillés a pour centre le point O, marqué d'un point. Le satellite A est un point situé sur ce cercle, en haut à droite. En A sont dessinés deux vecteurs : le vecteur u indice T, tangent au cercle et dirigé dans le sens du parcours, et le vecteur u indice N, porté par la droite OA. Une flèche courbe à droite indique le sens du mouvement.

Reproduire la figure 1 sur votre copie et représenter, sans souci d'échelle, la force d'interaction gravitationnelle $\vec{F}_{T/A}$ exercée par la Terre sur le satellite.

APP

T2.4

Donner l'expression vectorielle de $\vec{F_{T/A}}$ en fonction de $\vec{u_N}$ , G, MT, m et r.

REA

T2.4

En appliquant la 2ᵉ loi de Newton, établir que $v = \sqrt{G M_T / r}$ .

REA

T2.4

Vérifier la 3ᵉ loi de Kepler : $T^2/r^3 = 4\pi^2/(G M_T)$ .

REA

T2.4

Astérix, le premier satellite artificiel français, a été lancé le 26 novembre 1965 : la France devient alors la troisième puissance spatiale mondiale. On considère que le satellite Astérix A parcourt une trajectoire elliptique autour de la Terre de centre O. Les points B et C symbolisent respectivement le périgée et l'apogée de l'ellipse.

Figure 2 : trajectoire elliptique du satellite Astérix. Une ellipse allongée horizontalement. Sur son grand axe, tracé en pointillés, sont marqués le point B à gauche, légendé « Périgée », le point O à l'intérieur et le point C à droite, légendé « Apogée » ; le grand axe est noté BC = 2d. Le satellite Astérix, noté A, est un point marqué sur l'ellipse en haut à droite. Une flèche courbe en bas à droite indique le sens du mouvement.

Données

Grand axe : BC = 2d ;
Distance entre le périgée et le centre de la Terre : D_OB = 6,89×10⁶ m ;
Distance entre l'apogée et le centre de la Terre : D_OC = 8,07×10⁶ m ;
Constante de gravitation universelle : G = 6,67×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻².

En vous aidant de la figure 2 et des données, calculer la valeur du demi-grand axe d de l'ellipse de la trajectoire du satellite Astérix.

2 ptsREAVAL

T2.4

Calculer la masse de la Terre à partir de la 3ᵉ loi de Kepler (1 400 révolutions en 9,03 × 10⁶ s).

2.22. Méthode du pendule simple

Un pendule simple est constitué d'une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil inextensible de longueur ℓ et de masse négligeable.

L'étude des oscillations d'un pendule simple permet de déterminer la masse de la Terre. Pour cela, on fait osciller le pendule autour de sa position d'équilibre verticale et on repère sa position en mesurant l'angle θ.

Schéma d'un pendule simple : un fil de longueur ℓ, attaché en un point fixe en haut, porte une masse à son extrémité. Le fil est écarté de la verticale, matérialisée par un trait en pointillés ; l'angle entre le fil et cette verticale est noté θ.

On représente les variations de l'angle θ en fonction du temps pour un pendule de longueur ℓ = 1,0 m sur la figure 3.

Figure 3 : variations de l'angle θ en degrés en fonction du temps t en secondes. L'ordonnée est graduée de −4 à 4, l'abscisse de 0,0 à 10,0 par pas de 0,5. Le tracé est une sinusoïde régulière d'amplitude constante, sur un quadrillage fin qui permet la lecture.

ANAVAL

T2.4

Exploiter la figure 3 pour déterminer la période T des oscillations le plus précisément possible.

REA

T2.4

Calculer la valeur de l'intensité de pesanteur g.

2 ptsAPPREAVAL

T2.4

En supposant $P = F_{T/\text{pendule}}$ , déterminer la masse de la Terre MT.

Exercice 35 pts≈ 50 min

Étude de la caléfaction (effet Leidenfrost)

T4.1·Caractériser les phénomènes ondulatoires

#caléfaction#Leidenfrost#diffraction#fente unique#longueur d'onde#petits angles

La caléfaction est le comportement particulier d'une goutte d'eau déposée sur une plaque très chaude : elle ne se volatilise pas ni immédiatement ni totalement mais demeure jusqu'à quelques minutes à l'état liquide au-dessus de la plaque, flottant sur un coussin de vapeur. Ce phénomène a été étudié pour la première fois en 1756 par Johann Leidenfrost.

Figure 1 : gravure ancienne. Une base métallique chauffée, notée B, est posée sur un trépied au-dessus d'une flamme ; une goutte, notée d, repose au creux de cette base. À droite, un œil observe la scène de profil, à hauteur de la goutte, pour distinguer l'espace qui la sépare de la base. D'après « Heat: a mode of motion », J. Tyndall, 1875, page 158.

L'objectif de cet exercice est de déterminer la valeur de la distance entre la goutte et la plaque.

3.11. Étude qualitative

Données

λ(laser) = 532 nm · D = 2,00 m
Petits angles : θ ≈ tan θ
θ = λ/a (donnée diffraction)

ANAVAL

T3.2

On appelle durée de vie la durée au bout de laquelle la goutte s'est complètement évaporée après son dépôt. Cette durée est étudiée expérimentalement en fonction de la température de la plaque sur laquelle est déposée une goutte de volume 50 µL à 20 °C. Les résultats sont reportés dans le graphique ci-dessous : pour différentes températures, on note la durée de vie et sa barre d'incertitude.

Figure 2 : durée de vie d'une goutte de 50 µL en fonction de la température de la plaque. En ordonnée, la durée de vie en secondes, graduée de 0 à 200 ; en abscisse, la température en degrés Celsius, graduée de 50 à 350. Chaque mesure est un point surmonté d'une barre d'incertitude verticale. Trois zones sont délimitées par des traits verticaux en pointillés et légendées Zone A, Zone B et Zone C, de la gauche vers la droite. Les points de la zone A sont élevés, ceux de la zone B sont tous très bas, ceux de la zone C remontent à des valeurs élevées puis décroissent lentement. D'après « la caléfaction froide », Olympiades de physique 2015.

Dans le cadre de cet exercice, la zone A présentée sur la figure 2 ne présente pas d'intérêt car la température associée aux valeurs de durées de vie est inférieure à la température d'ébullition de l'eau. En revanche, au-delà de cette température (100 °C), on distingue deux zones pour lesquelles le comportement de la goutte est différent.

À l'aide de la figure 2, proposer un argument afin de justifier le manque d'intérêt de la zone B pour l'étude de la caléfaction.

3.22. Mesure de l'épaisseur par diffraction laser

APP

T4.1

John Tyndall a montré en 1875 que dans la zone C, au-delà de 180 °C, appelé seuil de Leidenfrost, la goutte peut persister quelques minutes avant de se vaporiser. Pour mesurer l'épaisseur du coussin de vapeur sur lequel flotte la goutte, on fait passer un faisceau lumineux entre la goutte et la plaque.

Lorsqu'on envoie un faisceau laser de longueur d'onde λ, on observe sur un écran placé à une distance D = 2,00 m le phénomène représenté figure 4. On note a l'épaisseur du coussin de vapeur entre la goutte et la plaque chauffée.

À gauche, figure 3, schéma de la situation : un faisceau laser horizontal arrive de la gauche et passe dans l'espace a, entre une goutte en caléfaction, dessinée comme un point noir, et une plaque chauffée grise. Après cet espace, le faisceau s'ouvre vers la droite jusqu'à un écran vertical où se forme une figure, dessinée comme une colonne de taches allongées. L'angle entre l'axe du faisceau et le bord de la tache centrale est noté θ, la hauteur de la tache centrale est notée L et la distance entre la goutte et l'écran est notée D. À droite, figure 4, photographie de l'écran : sur fond clair, une colonne verticale de taches sombres, celle du milieu étant nettement plus grande et plus sombre que les autres.

Nommer le phénomène observé sur la figure 4.

APPVAL

T4.1

Donner la condition sur a pour observer la diffraction avec un laser de longueur d'onde λ.

APPREA

T4.1

Montrer que $\theta = L/(2D)$ (petits angles).

ANAREA

T4.1

Établir l'expression de a en fonction de D, L et λ.

ANAVAL

T4.1

Une lecture de la photographie de la figure 4 par un logiciel de traitement de l'image donne le résultat de la figure 5.

Donnée

La longueur d'onde λ du laser utilisé est de valeur égale à 532 nm.

En vous appuyant sur la figure 5, déterminer la valeur de la largeur de la tache centrale L.

2 ptsREAVALCOM

T4.1

Calculer l'épaisseur a du coussin de vapeur.

Méthodologie · Bac

Chaque corrigé suit une méthodologie de rédaction rigoureuse, avec formule littérale annoncée, étapes de calcul détaillées, analyse dimensionnelle et phrase de conclusion explicite. Compétences APP / ANA / REA / VAL / COM affichées par question pour cibler les attendus officiels de la grille d'évaluation Bac.