Bac 2024Polynésie · Jour 1Corrigé complet

Coloration capillaire (dosage H₂O₂ + spectro) · Cyclotron protonthérapie · Jeune astronome (Jupiter)

Durée : 3 h 3020 points3 exercices

Chapitres BO travaillés

T1.2·Analyser un système par des méthodes physiques T1.3·Analyser un système par des méthodes chimiques (titrages)T1.7·Comparer la force des acides et des bases T2.1·Décrire un mouvement (vecteurs vitesse/accélération)T2.2·Deuxième loi de Newton T4.2·Former des images (lunette astronomique)T2.4·Mouvement dans un champ de gravitation

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Session 2024 Polynésie J1. Trois exercices : la coloration capillaire (dosage du peroxyde d'hydrogène par permanganate, ammoniaque comme base faible, isomérie des coupleurs, loi de Beer-Lambert), le cyclotron Medicyc de Nice pour la protonthérapie oculaire (accélération électrique + champ magnétique), et la jeune astronome qui veut observer la tache rouge de Jupiter avec une lunette astronomique premier prix.

Exercice 19 pts≈ 1 h 30

Coloration capillaire

T1.2·Analyser un système par des méthodes physiques T1.3·Analyser un système par des méthodes chimiques (titrages)T1.7·Comparer la force des acides et des bases

#dosage#permanganate#peroxyde d'hydrogène#titre en volume#ammoniaque#pKa#Beer-Lambert#isomérie#vitesse

Changer la couleur des cheveux, pigmenter de nouveau un cheveu blanchi par l'âge, voilà la promesse des colorations capillaires. Différentes techniques sont envisageables : les colorations naturelles, qui enrobent la fibre de pigments provenant du monde végétal, et les colorations d'origine synthétique. Parmi elles, les colorations d'oxydation promettent une longue tenue, car les espèces colorantes sont enfermées dans la fibre capillaire.

Le mélange colorant est préparé juste avant l'application, le coiffeur mélange la plupart du temps des volumes sensiblement égaux de solution oxydante à base de peroxyde d'hydrogène et de crème colorante contenant les précurseurs de la molécule colorée et les coupleurs. Cette crème contient également de l'ammoniaque ou une amine organique pour garantir un milieu basique. Après un temps de pose pour développer la couleur et un rinçage, un shampoing neutralise l'effet de l'ammoniaque.

L'objectif de cet exercice est d'étudier quelques aspects de la formule des produits professionnels permettant de teindre les cheveux de manière durable.

1.1Étude de solutions oxydantes

Les solutions oxydantes utilisées pour développer les colorations capillaires contiennent du peroxyde d'hydrogène H₂O₂(aq). Le tableau de la figure 1 présente différentes solutions oxydantes disponibles à l'usage des professionnels de la coiffure, leur pourcentage en masse de peroxyde d'hydrogène et leur masse volumique.

Solutions oxydantes	Pourcentage en masse de peroxyde d'hydrogène dans la solution	Masse volumique de la solution (en g·L⁻¹)
Solution n°1	3,0 %	1011
Solution n°2	6,0 %	1022
Solution n°3	9,0 %	1033
Solution n°4	12,0 %	1044

Figure 1. Tableau des différents oxydants disponibles avec leur pourcentage en masse de peroxyde d'hydrogène et leur masse volumique.

Il est possible de déterminer la concentration en quantité de matière en peroxyde d'hydrogène H₂O₂ d'une solution oxydante pour coloration capillaire à l'aide d'un dosage par titrage. Le réactif titrant est le permanganate de potassium (K⁺(aq) ; MnO₄⁻(aq)) en milieu acide.

L'équation de la réaction modélisant la transformation observée durant le dosage par titrage est :

2\,\text{MnO}_4^-(aq) + 6\,\text{H}^+(aq) + 5\,\text{H}_2\text{O}_2(aq) \rightarrow 2\,\text{Mn}^{2+}(aq) + 5\,\text{O}_2(g) + 8\,\text{H}_2\text{O}(\ell)

La solution oxydante, notée S, est préalablement diluée au vingtième ainsi sa concentration en quantité de matière est divisée par 20. La solution obtenue est notée S₂₀.

APPCOM

T1.3

Donner le protocole, en indiquant la verrerie, qui permet de préparer un volume V de valeur égale à 100 mL de solution S₂₀ à partir de la solution S.

APPREA

T1.3

On place un volume V₁ de solution S₂₀ dans un erlenmeyer et on ajoute quelques gouttes d'une solution d'acide sulfurique concentrée. La burette contient la solution de permanganate de potassium (K⁺(aq) ; MnO₄⁻(aq)) de concentration en quantité de matière c₂. Le volume de solution de permanganate de potassium pour atteindre l'équivalence est noté V_E.

Données

Valeur du volume V₁ : V₁ = 10,0 mL ;
Valeur de la concentration en quantité de matière c₂ de la solution de permanganate de potassium : c₂ = 2,00×10⁻² mol·L⁻¹ ;
Valeur du volume V_E de solution de permanganate de potassium versé à l'équivalence : V_E = 18,1 mL ;
Valeur de la masse molaire du peroxyde d'hydrogène : M(H₂O₂) = 34 g·mol⁻¹.

Établir la relation à l'équivalence entre la quantité de matière du peroxyde d'hydrogène $n_1$ et la quantité de matière $n_{2E}$ des ions permanganate.

REA

T1.3

Déterminer $c_1$ , la concentration en quantité de matière du peroxyde d'hydrogène de la solution S₂₀.

REA

T1.3

En déduire la concentration en quantité de matière $c$ du peroxyde d'hydrogène dans la solution oxydante S.

REAVAL

T1.3

Vérifier, à l'aide des valeurs du tableau de la figure 1, que la solution oxydante étudiée est la solution n°2.

2 ptsAPPANAREAVALCOM

T1.3T3.1

Le titre en volume correspond au volume de dioxygène libéré par la décomposition en eau et en dioxygène d'un litre de solution de peroxyde d'hydrogène dans les conditions normales de température et de pression. L'équation de la réaction modélisant la décomposition du peroxyde d'hydrogène est la suivante :

2\,\text{H}_2\text{O}_2(aq) \rightarrow \text{O}_2(g) + 2\,\text{H}_2\text{O}(\ell)

Le tableau de la figure 2 présente des informations concernant la solution n°2, son pourcentage en masse de peroxyde d'hydrogène, son titre en volume et sa masse volumique.

Solution oxydante	Pourcentage en masse de peroxyde d'hydrogène dans la solution	Titre en volume (en volumes)	Masse volumique de la solution (en g·L⁻¹)
Solution n°2	6,0 %	20 volumes	1022

Figure 2 : Informations concernant la solution n°2.

Données

Volume molaire des gaz à température et pression normales : V_m = 22,4 L·mol⁻¹ ;
Valeur de la masse molaire du peroxyde d'hydrogène : M(H₂O₂) = 34 g·mol⁻¹.

Pour la question suivante, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Vérifier que la solution oxydante n°2 à 6,0 % en masse de peroxyde d'hydrogène dans la solution correspond effectivement à un titre en volume de valeur proche de 20 volumes.

1.2Étude de la crème colorante

La crème colorante contient une espèce basique ammoniaque ou amine organique dont la fonction est de fixer le pH du mélange colorant vers une valeur de 9,5. À ce pH, les écailles du cheveu s'ouvrent pour laisser les précurseurs des espèces colorées pénétrer abondamment la fibre.

Données

Couple acide-base ion ammonium / ammoniac : NH₄⁺(aq) / NH₃(aq) ;
Couples acide/base de l'eau : H₃O⁺(aq) / H₂O(ℓ) et H₂O(ℓ) / HO⁻(aq).

APPREA

T1.7

Écrire l'équation de la réaction modélisant l'action de l'eau sur l'ammoniac NH₃(aq).

ANAREAVAL

T1.7

Soit une solution aqueuse de concentration en quantité de matière c_A d'ammoniac de valeur égale à 1,00×10⁻² mol·L⁻¹. La valeur du pH de cette solution est égale à 10,6.

Données

Valeur du produit ionique de l'eau K_e à 25 °C : K_e = 1,0×10⁻¹⁴ ;
Concentration standard : c° = 1,0 mol·L⁻¹.

Montrer que l'ammoniac est une base faible dans l'eau.

APPCOM

T1.7

La valeur du pH mesurée dans le « mélange prêt à l'application » est égale à 9,2.

Donnée

Valeur du pK_A du couple ion ammonium / ammoniac à 25 °C : pK_A = 9,2.

Tracer le diagramme de prédominance du couple ion ammonium / ammoniac.

Q10

APPCOM

T1.9

Le document de la figure 3 présente des composés employés presque systématiquement dans les colorations pour cheveux. Ce sont des composés qui peuvent s'oxyder très facilement.

Figure 3 : formules topologiques de deux composés. À gauche, molécule 1, la 4-aminoaniline : un cycle benzénique portant un groupe NH₂ en haut et un groupe NH₂ en bas, en positions opposées. À droite, molécule 2, le 2,4-diaminophénol : un cycle benzénique portant un groupe OH en haut, un groupe NH₂ sur le carbone voisin à droite et un groupe NH₂ plus bas sur le cycle.

Recopier la formule topologique de la molécule 2, entourer et nommer les groupes caractéristiques présents.

Q11

APPANA

T1.9

Les coupleurs sont un peu moins sensibles à l'oxydation que les molécules précédentes. Une relation structurelle, ou isomérie de constitution, entre les deux types de structure est responsable de cette différence. Le document de la figure 4 présente un coupleur, le 3-aminoaniline.

Figure 4 : formule topologique de la molécule 3, le 3-aminoaniline : un cycle benzénique portant un groupe NH₂ en haut et un second groupe NH₂ sur le deuxième carbone à droite en descendant.

Nommer la catégorie de l'isomérie de constitution entre la molécule 3 et la molécule 1.

1.3Développement de la couleur

Lorsque l'on mélange la crème colorante et la solution oxydante, une espèce colorée apparaît peu à peu. Cette espèce est capable de teindre le cheveu en s'insérant à l'intérieur de la fibre capillaire. Le développement de cette couleur peut être étudié au spectrophotomètre. Lorsque la solution n'est pas trop concentrée, elle suit la loi de Beer-Lambert, qui peut permettre de vérifier la teneur en coupleur de la crème colorante.

Pour réaliser une simulation de la loi de Beer-Lambert, on choisit d'utiliser un programme Python, qui lorsqu'il a été exécuté donne le résultat présenté figure 5.

Figure 5 : droite tracée par le programme. En ordonnée l'absorbance A, graduée de 0,25 à 2,00 ; en abscisse la concentration c en µmol·L⁻¹, graduée de 2,5 à 20,0. Une droite rouge part du bas à gauche et monte régulièrement jusqu'au coin supérieur droit. Un point carré bleu est marqué sur la droite, la légende indiquant « A=1,2 ; c=12.0 ».

Les solutions de la gamme d'étalonnage envisagée contiennent le colorant capillaire obtenu par oxydation de l'espèce qu'on appellera par la suite molécule C dans une gamme de concentration en quantité de matière comprise entre 1,0×10⁻⁶ mol·L⁻¹ à 2,0×10⁻⁵ mol·L⁻¹.

Données

La valeur de la longueur ℓ de la cuve est égale à 1,0 cm ;
La valeur du coefficient d'extinction molaire ε (epsilon) de l'espèce colorée est égale à 1,00×10⁵ L·mol⁻¹·cm⁻¹ ;
La loi de Beer-Lambert appliquée dans son domaine de validité s'écrit $A = \varepsilon \cdot \ell \cdot c$ , avec A la valeur de l'absorbance, ε le coefficient d'extinction molaire de l'espèce, c la valeur de la concentration et ℓ la valeur de la longueur de la cuve du spectrophotomètre.

Q12

APPREA

T1.2

Le programme Python est présenté figure 6.

Figure 6 : capture d'écran du programme « simulation_BEER-LAMBERT.py », lignes numérotées de 1 à 23. Ligne 1 : import numpy as np. Ligne 2 : import matplotlib.pyplot as plt. Ligne 4 : commentaire « on déclare les constantes ». Ligne 5 : epsilon= suivi d'un blanc à compléter. Ligne 6 : l= suivi d'un blanc à compléter. Ligne 8 : c=np.linspace(1,20,num=2). Ligne 10 : A= suivi d'un blanc à compléter, la ligne étant surlignée. Lignes 12 à 16 : plt.margins(0), plt.title('Loi de Beer-Lambert'), plt.xlabel('c (µmol/L)'), plt.ylabel('A'), plt.plot(c,A,'r'). Ligne 19 : pointisole=1.2/(epsilon*l*10**-6). Lignes 21 à 23 : plt.plot(pointisole,1.2,'s',label=f'A=1,2 ; c égale pointisole'), plt.legend(), plt.show().

Recopier et compléter les lignes 5, 6 et 10 du code Python.

Q13

ANAREA

T1.2

Le programme affiche également la valeur de la concentration en quantité de matière correspondant à une absorbance A = 1,20 pour un échantillon préparé en diluant 100 fois le mélange crème colorante - solution oxydante. On considèrera que les valeurs numériques des masses volumiques de la crème et de l'oxydant sont proches de celle de l'eau, constituant majoritaire du mélange. Le mélange est préparé en réunissant des volumes égaux de crème colorante et de solution oxydante. Le développement de la couleur se fait selon l'équation simplifiée de réaction :

Équation simplifiée de la réaction : deux fois la molécule 1 (cycle benzénique portant deux groupes NH₂ opposés) plus la molécule C (cycle benzénique portant un groupe OH, un groupe CH₃ et une chaîne HO−CH₂−CH₂−NH− fixée sur le cycle), donnant une espèce colorée.

Donnée

La masse molaire de la molécule C : M_C = 169 g·mol⁻¹.

Déterminer la concentration C_c en quantité de matière de la molécule C dans le mélange.

Q14

REAVALCOM

T1.2

La législation autorise jusqu'à 1,5 % en masse de la molécule C dans le mélange colorant prêt à l'emploi. Vérifier que la crème colorante respecte la législation.

Q15

ANAVAL

T1.2

On enregistre, figure 7, le spectre du « mélange prêt à l'application » après le développement de la couleur.

Figure 7 : spectre d'absorption. En ordonnée l'absorbance, graduée de 0,0 à 1,0 ; en abscisse la longueur d'onde en nanomètres, graduée de 350 à 750. La courbe démarre vers 375 nm, monte brusquement, présente un premier sommet arrondi puis un second sommet plus bas vers le milieu du domaine, avant de décroître régulièrement et de se stabiliser à une valeur faible au-delà de 700 nm.

Sur le diagramme en étoile de la figure 8 les couleurs complémentaires sont diamétralement opposées.

Figure 8 : diagramme en étoile à six branches. Les six couleurs et leurs domaines de longueur d'onde sont disposés autour de l'étoile : bleu (435-480 nm), violet (380-420 nm), rouge (610-750 nm), jaune (580-595 nm), vert (510-560 nm) et cyan (480-500 nm). Deux couleurs diamétralement opposées sont complémentaires.

À l'aide des figures 7 et 8, déterminer la couleur principalement absorbée et en déduire la couleur dominante du mélange « mélange prêt à l'application ».

Q16

APP

T1.4

On suit l'évolution de l'absorbance en fonction du temps, la courbe obtenue est donnée figure 9.

Figure 9 : absorbance en fonction du temps. En ordonnée A, graduée de 0,6 à 1,4 ; en abscisse t en secondes, graduée de 500 à 2250. Une trentaine de points carrés bleus, régulièrement espacés, montent de façon presque rectiligne du bas à gauche vers le haut à droite, sur un quadrillage fin.

Donner la définition de la vitesse d'apparition du produit coloré, notée $v_\text{produit}$ .

Q17

APPREA

T1.2T1.4

À partir de l'expression de la loi de Beer-Lambert, montrer que l'expression de la vitesse d'apparition du produit coloré est :

v_\text{produit} = \dfrac{1}{\varepsilon \cdot \ell} \cdot \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}

Données

La valeur de la longueur ℓ de la cuve est égale à 1,0 cm ;
La valeur du coefficient d'extinction molaire ε de l'espèce colorée est égale à 1,00×10⁵ L·mol⁻¹·cm⁻¹.

Q18

ANAREA

T1.4

Déterminer la vitesse d'apparition du produit $v_{1500}$ à la date 1500 s.

Exercice 25 pts≈ 50 min

La protonthérapie sauve la vue

T2.1·Décrire un mouvement (vecteurs vitesse/accélération)T2.2·Deuxième loi de Newton

#cyclotron#proton#champ électrique#champ magnétique#Frenet#mouvement circulaire uniforme

Le cyclotron isochrone Medicyc de Nice est un accélérateur de particules pionnier dans le traitement des cancers par protonthérapie. Cette technique de médecine nucléaire très précise accélère des protons leur permettant d'atteindre à leur sortie une énergie cinétique suffisante pour pénétrer l'œil jusqu'à la rétine comme représenté sur la figure 1. Ils déposent alors avec précision cette grande quantité d'énergie sur la tumeur rétinienne cible qui est détruite, tout en épargnant les tissus sains et le nerf optique. La vue du patient est sauvée !

Sources : Dans l'œil du cyclotron, Pierre Mandrillon, 2016

L'objectif de cet exercice est de décrire le mouvement d'un proton dans les différentes zones du cyclotron.

Données

Un cyclotron est constitué des zones B et C qui sont des cavités semi-circulaires de rayon R_max = 69 cm, séparées par un intervalle étroit qui correspond à la zone A.
Un cyclotron est un accélérateur de particules qui utilise l'action successive d'un champ électrique $\vec{E}$ (dans la zone A) et d'un champ magnétique $\vec{B}$ (dans les zones B et C).

Figure 1 : vue de dessus du cyclotron. Un disque gris est partagé en deux demi-disques, la zone C à gauche et la zone B à droite, séparés par une bande verticale étroite, la zone A, assimilée à un condensateur où règne le champ E dirigé vers le bas. Dans chaque demi-disque règne un champ B. Une source de protons injecte les particules au point O, au centre. Une trajectoire en spirale, tracée en pointillés avec des flèches, s'élargit tour après tour jusqu'au rayon R max, puis sort par la droite vers un œil dont la tumeur rétinienne est la cible. Un générateur de tension alternative U(t) est relié aux deux demi-disques.

Dans le cadre de l'exercice on supposera que le proton étudié est injecté au point O sans vitesse initiale, et suit les lois de Newton.

2.1Mouvement du proton dans la zone A de O à M₁

La zone A est modélisée par un condensateur plan alimenté par une tension U(t) alternative, figure 2. Il y règne un champ électrique $\vec{E}$ uniforme, qui a pour valeur $E = \dfrac{|U|}{d}$ . À t = 0, un proton entre dans la zone A, en O, sans vitesse initiale. Il arrive sur l'autre armature en M₁, avec une vitesse de valeur v₁.

Figure 2 : modélisation de la zone A. Deux plaques grises verticales, la zone C à gauche et la zone B à droite, encadrent un espace de largeur d, la zone A. Un repère (O, x, y) a son origine O sur la plaque de gauche, l'axe x horizontal vers la droite et l'axe y vertical vers le haut. Le champ E est représenté par une flèche horizontale dirigée de O vers la droite. Le point M₁ est marqué sur la plaque de droite, sur l'axe x. Une flèche indique l'entrée du proton P de charge +e en O. Un générateur U(t) relie les deux plaques par le bas. — Figure 2. Modélisation de la zone A du cyclotron par un condensateur plan.

Données

Charge électrique du proton : e = 1,6×10⁻¹⁹ C ;
Le poids du proton est négligeable devant la force électrique ;
Masse du proton : m = 1,67×10⁻²⁷ kg ;
La largeur de la zone A est : d = 1,0 cm ;
Le repère d'étude dans la zone A est le repère (O, x, y) ;
Unité d'énergie : 1 eV = 1,6×10⁻¹⁹ J ;
Tension appliquée dans la zone A : U = 50 kV.

APPANAREA

T2.2

En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l'expression du vecteur accélération $\vec{a}$ du proton dans la zone A, en fonction de e, m et $\vec{E}$ , et en déduire ses caractéristiques : direction, sens et valeur. Conclure quant à la nature du mouvement du proton dans la zone A.

ANAREA

T2.2

Établir la coordonnée $v_x(t)$ du proton dans le repère (O, x, y) et montrer, avec la méthode de votre choix, que la valeur du vecteur vitesse $\vec{v}_1$ du proton au point M₁ a pour expression $v_1 = v_x(t_1) = \sqrt{\dfrac{2e \cdot U}{m}}$ .

REAVAL

T2.2

En déduire les caractéristiques, direction, sens et valeur, du vecteur vitesse $\vec{v}_1$ au point M₁.

2.2Mouvement du proton dans la zone B de M₁ à N₁

Le proton atteint la zone B au point M₁, avec la vitesse $\vec{v}_1$ où règne uniquement un champ magnétique $\vec{B}$ uniforme, figure 3. Il est soumis à une force magnétique $\vec{F}_m$ ainsi qu'à son poids.

Figure 3 : trajectoire du proton dans les zones A et B. Sur un repère (O, x, y), le proton part de O, traverse horizontalement la bande centrale zone A jusqu'en M₁, puis décrit dans la zone B un demi-cercle en pointillés fléché, de centre C₁, qui le ramène en N₁ au-dessus de l'axe des abscisses. Au point P₁ de ce demi-cercle sont dessinés les deux vecteurs du repère de Frenet : le vecteur t tangent à la trajectoire et le vecteur n dirigé vers le centre. Le champ E est horizontal dans la zone A, le champ B règne dans les zones B et C.

Données

La trajectoire du proton dans la zone B est circulaire, il parcourt un demi-cercle de rayon R₁ = C₁P₁ = 1,9 cm ;
Le repère d'étude pour la zone B est le repère de Frenet (P₁, $\vec{t}$ , $\vec{n}$ ) ;
Force du champ magnétique uniforme sur le proton : $\vec{F}_m = (e \cdot v \cdot B)\,\vec{n}$ ;
Vecteur accélération dans la base de Frenet : $\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{t} + \dfrac{v^2}{R}\vec{n}$ ;
Masse du proton : m = 1,67×10⁻²⁷ kg ;
Dans la zone B, le champ magnétique a une valeur constante : B = 1,7 T ;
On néglige le poids du proton devant la force magnétique.

APPREA

T2.2

En utilisant la deuxième loi de Newton, établir l'expression littérale du vecteur accélération $\vec{a}$ du proton en P₁ et donner ses caractéristiques : direction et sens.

ANAREA

T2.2

Montrer que le mouvement circulaire du proton est uniforme et établir que l'expression de la valeur de sa vitesse est $v = \dfrac{e \cdot R_1 \cdot B}{m}$ .

REAVALCOM

T2.2

Calculer la valeur de la vitesse v et expliquer pourquoi on retrouve la valeur v₁ de la question Q3.

2.3Retour du proton dans la zone A puis entrée dans la zone C

Le proton quitte la zone B et revient dans la zone A en N₁. Pendant que le proton était dans la zone B, le signe de la tension U(t) a changé pour inverser le sens du champ $\vec{E}$ , ce qui lui permet de subir une nouvelle accélération jusqu'au point M₂. Il entre dans la zone C, où il décrit un demi-cercle de rayon C₂P₂ = R₂ tel que R₂ > R₁, pour en ressortir en N₂, figure 4.

Figure 4 : trajectoire du proton pour un tour complet. Sur le repère (O, x, y), le proton part de O, traverse la zone A jusqu'en M₁, décrit dans la zone B de droite un demi-cercle de centre C₁ jusqu'en N₁, retraverse la zone A vers la gauche de N₁ à M₂ en haut, puis décrit dans la zone C de gauche un demi-cercle plus grand, de centre C₂, jusqu'en N₂ en bas. Les vecteurs de Frenet t et n sont dessinés en P₁ sur le premier demi-cercle et en P₂ sur le second.

La figure 5 représente la valeur de la vitesse du proton en fonction du temps, lorsqu'il parcourt un tour dans le cyclotron : du point O au point N₂.

Figure 5 : valeur de la vitesse v du proton en fonction du temps. En ordonnée v en unités de 10⁶ m·s⁻¹, graduée de 0 à 5 ; en abscisse t en unités de 10⁻⁸ s, graduée de 0 à 5. Le tracé part de l'origine, marquée « Au point O », monte en ligne droite jusqu'à un premier palier marqué « Au point M1 », reste horizontal jusqu'au repère « Au point N1 », remonte alors en ligne droite plus raide jusqu'au repère « Au point M2 », puis reste horizontal jusqu'au repère « Au point N2 ». Un quadrillage fin permet la lecture.

Données

Les repères d'étude sont : le repère orthonormé (O, x, y) pour la zone A et le repère local de Frenet (P, $\vec{t}$ , $\vec{n}$ ) pour les zones B et C avec P le centre du proton ;
Zone C : rayon de la trajectoire circulaire R₂ = C₂P₂ = 3,9 cm.

2 ptsANAREAVAL

T2.2

Déterminer à l'aide des figures 4 et 5 la valeur du vecteur accélération :

entre les points N₁ et M₂ : retour dans la zone A, la valeur du vecteur accélération sera notée a_A ;
entre les points M₂ et N₂ : passage dans la zone C, la valeur du vecteur accélération sera notée a_C.

Exercice 36 pts≈ 1 h

Une jeune astronome

T4.2·Former des images (lunette astronomique)T2.4·Mouvement dans un champ de gravitation

#lunette astronomique#afocal#grossissement#tache rouge Jupiter#opposition#conjonction#angle apparent

Une élève de terminale est intéressée par l'astronomie. Elle rêve de pouvoir observer le ciel par ses propres moyens. Pour cela, elle souhaite s'acheter une lunette astronomique qui lui permettra d'observer la Lune, le Soleil (par projection, car il ne faut jamais l'observer directement) et les planètes du Système solaire.

Elle a un budget limité et ne pourra s'offrir qu'une lunette premier prix. Ayant étudié les principes de la lunette astronomique, elle souhaite vérifier à l'aide de ses connaissances si cette lunette lui permettra d'observer la grande tache rouge de Jupiter.

Le but de l'exercice est de procéder à cette vérification et de déterminer si la grande tache rouge sera visible même au plus faible grossissement.

3.1Vérification des caractéristiques commerciales de la lunette

Dans un premier temps, cette élève veut vérifier que les grossissements de ×30 et ×150 annoncés par le fabricant sont corrects.

Extrait de la notice de la lunette astronomique

Caractéristiques commerciales de la lunette à objectif achromatique :

Diamètre de l'objectif D = 50 mm
Distance focale $f'_1 = 60{,}0\ \text{cm}$
Grossissement avec accessoires compris : ×30 et ×150
Masse nette : 1 kg

Éléments livrés :

Lunette et monture
Trépied en aluminium réglable en hauteur
Deux oculaires de distances focales $f'_2 = 4\ \text{mm}$ et $f'_2 = 20\ \text{mm}$
Filtre lunaire

On rappelle que pour les petits angles θ : $\tan\theta \approx \theta$ et $\sin\theta \approx \theta$ .

Les questions Q2, Q3 et Q4 se traitent sur le schéma du document réponse ci-dessous.

Document réponse : schéma à compléter. Un axe optique horizontal en pointillés traverse le schéma. Deux lentilles convergentes sont représentées par des flèches verticales à double pointe : L₁ à gauche, de centre O₁, et L₂ à droite, de centre O₂. Entre les deux, sur l'axe, sont marqués les points F'₁ et F₂ confondus ; à droite de L₂ est marqué F'₂. À gauche, deux rayons parallèles inclinés, fléchés, arrivent vers L₁ ; ils sont légendés « Rayons issus de Jupiter considérée comme à l'infini » et l'angle qu'ils font avec l'axe optique est noté θ.

APP

T4.2

La lunette astronomique est un système optique afocal. Donner la signification du terme afocal.

REA

T4.2

Placer les termes objectif et oculaire sur le schéma du document réponse.

REA

T4.2

Tracer, sur le schéma du document réponse, le trajet des rayons arrivant de Jupiter considéré comme situé à l'infini en faisant figurer les traits de construction.

REA

T4.2

Placer, sur le schéma du document réponse, l'angle apparent θ' de l'objet à travers la lunette.

2 ptsAPPREAVAL

T4.2

Donner la définition du grossissement G de la lunette. Montrer que l'expression du grossissement est $G = \dfrac{f'_1}{f'_2}$ et vérifier que les grossissements annoncés par le fabricant sont corrects.

3.2Visibilité de la grande tache rouge de Jupiter

La planète Jupiter est une planète gazeuse qui présente à sa surface un système de bandes de nuages clairs et sombres, mais surtout une grande tache rouge, un ouragan gigantesque qui souffle depuis au moins cinq siècles, date de sa première observation.

Figure 1 : photographie de Jupiter en noir et blanc. Le disque de la planète est strié de bandes horizontales alternativement claires et sombres. Une flèche partant de la mention « Grande tache rouge de Jupiter » désigne une structure ovale située dans l'hémisphère inférieur.

Jupiter peut être en conjonction ou en opposition avec la Terre. Jupiter est en opposition quand elle est située sur son orbite du même côté du Soleil que la Terre. Jupiter est en conjonction quand elle est située de l'autre côté de son orbite. Les positions de Jupiter en opposition et en conjonction sont représentées sur la figure 2.

Figure 2 : schéma des orbites. Le Soleil est au centre. Un premier cercle en pointillés, de petit rayon, porte la Terre ; un second cercle en pointillés, de grand rayon, porte Jupiter. Deux positions de Jupiter sont marquées sur ce grand cercle : « Jupiter en opposition », du même côté du Soleil que la Terre, et « Jupiter en conjonction », de l'autre côté du Soleil. Les trois astres sont alignés dans les deux cas.

Données

Distance Terre-Soleil : D_TS = 1,5×10⁸ km ;
Distance Jupiter-Soleil : D_JS = 7,8×10⁸ km.

APPREA

T2.4

Indiquer la meilleure situation pour observer Jupiter. Calculer alors la valeur de la distance Terre-Jupiter $D_{TJ}$ .

REA

T4.2

Donnée

La grande tache rouge est devenue quasiment circulaire avec un diamètre D = 1,5×10⁴ km.

Le schéma de la figure 3 représente l'angle apparent θ de la grande tache rouge de Jupiter.

Figure 3 : schéma de l'angle apparent. À gauche, un grand disque gris légendé « Jupiter » porte, sur son bord droit, un petit disque sombre de diamètre D représentant la grande tache rouge. À droite, un œil observe la scène. Deux traits partent des extrémités du diamètre D et convergent vers l'œil : l'angle qu'ils forment au niveau de l'œil est noté θ. Le segment horizontal entre la planète et l'œil est légendé « Distance Terre-Jupiter ».

Calculer le diamètre apparent θ de la grande tache rouge vue à l'œil nu.

REA

T4.2

Calculer la valeur du diamètre apparent θ' de la grande tache rouge vue à travers la lunette avec le plus petit grossissement de la lunette.

VALCOM

T4.2

Un œil humain ne peut pas distinguer deux points si l'angle apparent θ' entre les deux points est inférieur à 2,9×10⁻⁴ rad.

Déterminer si l'élève pourra voir la grande tache rouge avec cette lunette au plus petit grossissement.

Q10

APP

T4.2

Citer un phénomène optique susceptible de dégrader la visibilité de la grande tache rouge.

Méthodologie · Bac

Chaque corrigé suit une méthodologie de rédaction rigoureuse, avec formule littérale annoncée, étapes de calcul détaillées, analyse dimensionnelle et phrase de conclusion explicite. Compétences APP / ANA / REA / VAL / COM affichées par question pour cibler les attendus officiels de la grille d'évaluation Bac.

Solutions oxydantes

Pourcentage en masse de peroxyde d'hydrogène dans la solution

Masse volumique de la solution (en g·L⁻¹)

Solution n°1

3,0 %

1011

Solution n°2

6,0 %

1022

Solution n°3

9,0 %

1033

Solution n°4

12,0 %

1044

Solution oxydante

Pourcentage en masse de peroxyde d'hydrogène dans la solution

Titre en volume (en volumes)

Masse volumique de la solution (en g·L⁻¹)

Solution n°2

6,0 %

20 volumes

1022