Bac 2023Métropole · Jour 2Corrigé complet

Vitamine C dans les kiwis (acide-base + dosage + cinétique) · Saut des crapauds Bufo bufo · Détecteur capacitif d'humidité

Durée : 3 h 3020 points3 exercices

Chapitres BO travaillés

T1.7·Comparer la force des acides et des bases T1.3·Analyser un système par des méthodes chimiques (titrages)T1.4·Suivre et modéliser l'évolution temporelle (cinétique)T2.2·Deuxième loi de Newton T2.3·Mouvement dans un champ uniforme T4.4·Étudier la dynamique d'un dipôle RC

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Session 2023 Métropole J2 (mardi 21 mars 2023). Trois exercices : la vitamine C contenue dans les kiwis (pK_A ≈ 4,2, dosage par excès au diiode puis titrage par le thiosulfate, cinétique à deux températures), la protection des crapauds Bufo bufo (étude balistique du saut pour dimensionner les barrières le long des routes), et la modélisation d'un détecteur capacitif d'humidité (circuit RC, microcontrôleur et programme Python pour l'arrosage automatique).

Exercice 19 pts≈ 1 h 30

Étude de la vitamine C contenue dans les kiwis

T1.7·Comparer la force des acides et des bases T1.3·Analyser un système par des méthodes chimiques (titrages)T1.4·Suivre et modéliser l'évolution temporelle (cinétique)

#acide ascorbique#vitamine C#pKa#acide faible#dosage par excès#diiode#thiosulfate#facteurs cinétiques#spectroscopie IR

L'acide ascorbique, couramment appelé vitamine C, intervient dans de nombreux processus métaboliques dans le corps humain. Comme l'organisme ne peut ni la synthétiser ni la stocker, les apports en vitamine C doivent se faire par l'alimentation.

Les kiwis jaunes et les kiwis verts font partie des fruits les plus riches en acide ascorbique. L'agence nationale de sécurité sanitaire de l'alimentation recommande un apport minimum en vitamine C de 110 mg par jour pour un adulte.

L'objectif de cet exercice est d'étudier les propriétés de l'acide ascorbique et de déterminer la quantité de kiwis nécessaire aux besoins journaliers d'un adulte en vitamine C.

Données

formule brute de l'acide ascorbique : C₆H₈O₆ ;
formule topologique de l'acide ascorbique (ci-contre) ;
masse molaire de l'acide ascorbique : M = 176 g·mol⁻¹ ;
couple acide-base associé à l'acide ascorbique : C₆H₈O₆(aq) / C₆H₇O₆⁻(aq) ;
concentration standard : c° = 1,0 mol·L⁻¹.

Formule topologique de l'acide ascorbique. Deux groupes sont entourés et étiquetés : A entoure un HO en bout de chaîne, B entoure la partie du cycle portant un atome d'oxygène et une double liaison C=O.

Données de spectroscopie infrarouge

Liaison	O−H	C−H	C=C	C=O
Nombre d'onde (en cm⁻¹)	3200 − 3700	2850 − 3100	1620 − 1680	1650 − 1730
Allure de la bande caractéristique	Forte et large	Forte	Faible et fine	Forte et fine

1.11. Quelques propriétés de l'acide ascorbique

APP

T1.9

Représenter la formule semi-développée de l'acide ascorbique puis nommer les familles fonctionnelles associées aux groupes A et B entourés sur la formule topologique.

ANAVAL

T1.9

Justifier que le spectre infrarouge de la figure 1 est compatible avec la structure de l'acide ascorbique.

Figure 1. Spectre infrarouge de l'acide ascorbique : transmittance en pourcentage en ordonnée, nombre d'onde de 4000 à 500 cm⁻¹ en abscisse, avec plusieurs bandes d'absorption.

REA

T1.3

Pour étudier les propriétés acidobasiques de la vitamine C, on dissout 1,0 g d'acide ascorbique commercial dans une fiole jaugée de 50 mL puis on complète jusqu'au trait de jauge avec de l'eau distillée. La mesure du pH de la solution donne pH = 2,6.

Déterminer la quantité de matière initiale n₀ d'acide ascorbique introduite dans la fiole jaugée.

APP

T1.7

La transformation entre l'acide ascorbique et l'eau est modélisée par la réaction d'équation :

\text{C}_6\text{H}_8\text{O}_6(aq) + \text{H}_2\text{O}(\ell) \rightleftharpoons \text{C}_6\text{H}_7\text{O}_6^-(aq) + \text{H}_3\text{O}^+(aq)

Donner la définition d'un acide faible.

ANAVAL

T1.7

Montrer que l'acide ascorbique est un acide faible dans l'eau.

2 ptsREAVAL

T1.7

Donner l'expression de la constante d'acidité $K_A$ du couple associé à l'acide ascorbique en fonction des concentrations [C₆H₈O₆], [C₆H₇O₆⁻], [H₃O⁺] à l'équilibre et de la concentration standard c°, puis montrer que la valeur du pK_A est proche de 4,2.

1.22. Acide ascorbique dans un kiwi jaune

Pour déterminer la concentration en acide ascorbique d'un kiwi jaune, on le mixe jusqu'à en obtenir du jus dont le pH est de 3,5.

ANAVAL

T1.7

Déterminer l'espèce acide-base prédominante associée à l'acide ascorbique présente dans le jus d'un kiwi jaune.

REAVAL

T1.2

La quantité d'acide ascorbique présent dans un kiwi jaune est déterminée à l'aide d'un dosage par excès. Le principe de ce dosage est le suivant :

on met le jus de kiwi en présence d'une quantité connue de diiode I₂. Seul l'acide ascorbique réagit avec le diiode, introduit en excès ;
on détermine ensuite par titrage la quantité de diiode restant ;
on en déduit alors la quantité d'acide ascorbique dans le kiwi jaune.

Protocole du dosage

Étape 1 : réaction de l'acide ascorbique avec le diiode. Introduire la totalité du jus d'un kiwi jaune mixé dans une fiole jaugée de 250 mL, puis compléter avec de l'eau distillée jusqu'au trait de jauge. On appelle S la solution ainsi obtenue. Introduire dans un erlenmeyer un volume V = 50,0 mL de la solution S, ainsi qu'un volume V₁ = 20,0 mL d'une solution aqueuse de diiode I₂ à la concentration C₁ = 2,9×10⁻² mol·L⁻¹.

\text{C}_6\text{H}_8\text{O}_6(aq) + \text{I}_2(aq) \rightarrow \text{C}_6\text{H}_6\text{O}_6(aq) + 2\,\text{I}^-(aq) + 2\,\text{H}^+(aq)

Étape 2 : titrage du diiode restant par les ions thiosulfate S₂O₃²⁻. Titrer le contenu de l'erlenmeyer préparé lors de l'étape 1 par une solution aqueuse de thiosulfate de sodium de concentration C₂ = 5,00×10⁻² mol·L⁻¹, en présence d'un indicateur coloré spécifique au diiode. On obtient un volume à l'équivalence V₂ = 16,5 mL.

\text{I}_2(aq) + 2\,\text{S}_2\text{O}_3^{2-}(aq) \rightarrow \text{S}_4\text{O}_6^{2-}(aq) + 2\,\text{I}^-(aq)

En exploitant le résultat du titrage, montrer que la quantité de matière de diiode dosé lors de l'étape 2 est égale à 4,13×10⁻⁴ mol.

3 ptsREAVALCOM

T1.2

Après avoir calculé la masse d'acide ascorbique contenue dans un kiwi jaune, déterminer combien il faudrait en manger pour satisfaire les besoins journaliers en acide ascorbique d'un adulte.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Q10

ANAVALCOM

T1.2

Le même dosage est réalisé avec un kiwi vert de même masse. On obtient un nouveau volume à l'équivalence pour le titrage du diiode restant V'₂ = 19,7 mL.

Expliquer sans calcul si le kiwi vert contient plus ou moins d'acide ascorbique que le kiwi jaune.

1.33. Oxydation de l'acide ascorbique par le bleu de méthylène

L'acide ascorbique est un réducteur, ce qui conditionne sa conservation à l'air libre. Dans cette partie, pour des raisons pratiques, on étudie ses propriétés réductrices en le faisant réagir avec du bleu de méthylène.

Au contact du bleu de méthylène, noté BM⁺, l'acide ascorbique C₆H₈O₆ contenu dans le jus de kiwi se transforme en un nouveau composé de formule brute C₆H₆O₆.

Données

couple oxydant / réducteur associé à l'acide ascorbique : C₆H₆O₆(aq) / C₆H₈O₆(aq) ;
couple oxydant / réducteur associé au bleu de méthylène : BM⁺(aq) / BMH(aq).

Q11

APPREA

T1.2

À l'aide des demi-équations électroniques de chacun des couples mis en jeu, établir l'équation de la réaction modélisant la transformation chimique ayant lieu entre l'acide ascorbique C₆H₈O₆ et le bleu de méthylène BM⁺.

Q12

2 ptsAPPREAANA

T1.4

On réalise le suivi cinétique de cette réaction à deux températures différentes. Après traitement des résultats, on trace sur la figure 2 l'évolution temporelle de la concentration C_ASC de l'acide ascorbique, pour les deux températures choisies.

Figure 2. Deux courbes décroissantes de la concentration en acide ascorbique en fonction du temps, de 0 à 140 secondes. Une série de points ronds pour la réaction à 28 °C, une série de triangles pour la réaction à 40 °C.

Exprimer la vitesse volumique de disparition de l'acide ascorbique en fonction de C_ASC puis déterminer sa valeur à l'instant initial à la température de 28 °C.

Q13

ANAVALCOM

T1.4

En utilisant les courbes de la figure 2, identifier en justifiant deux facteurs cinétiques de la réaction entre l'acide ascorbique et le bleu de méthylène.

Exercice 25 pts≈ 50 min

Protection des crapauds

T2.2·Deuxième loi de Newton T2.3·Mouvement dans un champ uniforme

#tir parabolique#chute libre#crapaud#barrière de protection#saut vertical#hauteur maximale#deuxième loi de Newton

La plaine de Sorques, située dans le sud de la Seine-et-Marne, est une zone naturelle protégée qui abrite entre autres de nombreux amphibiens (crapauds, grenouilles, tritons). Les crapauds Bufo bufo ont pour habitat la forêt de Fontainebleau la majeure partie de l'année. Une fois par an, au printemps, ces amphibiens migrent vers les plans d'eau pour se reproduire.

Photographie d'une barrière basse en planches de bois installée le long du bord herbeux d'une route, en lisière de forêt.

Pour éviter qu'ils ne se fassent écraser en passant sur la route qui traverse cette zone de migration, un dispositif a été installé : des barrières en bois, suffisamment hautes pour empêcher le saut sur la route, sont placées de chaque côté, obligeant les amphibiens à emprunter des passages souterrains appelés « crapauducs ».

Dans cet exercice, on se propose d'étudier le mouvement lors d'un saut d'un crapaud Bufo bufo de façon à déterminer la hauteur minimale des barrières de protection le long d'une route.

Le système considéré est un crapaud dont on étudie le mouvement du centre de masse, noté G. Le champ de pesanteur terrestre local $\vec{g}$ est considéré uniforme et les frottements liés à l'action de l'air sont supposés négligeables face au poids.

Données

intensité de la pesanteur terrestre : g = 9,81 m·s⁻² ;
taille moyenne d'un crapaud Bufo bufo : 10 cm.

2.11. Établir les équations du mouvement

Le mouvement du centre de masse G du crapaud est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen et muni du système d'axes (Ox, Oz), respectivement horizontal muni du vecteur unitaire $\vec{\imath}$ et vertical muni du vecteur unitaire $\vec{\jmath}$ (voir figure 1).

Figure 1. Schéma dans le repère (O, x, z) : une trajectoire en arc part de l'origine O, monte puis retombe sur l'axe horizontal. Le vecteur vitesse initiale v0 est tracé à l'origine, faisant un angle alpha avec l'axe Ox.

À la date t = 0 s, le centre de masse G est placé à l'origine du repère O et son vecteur vitesse initiale, noté $\vec{v_0}$ , a une direction faisant un angle α avec l'axe horizontal (Ox). On note v₀ la norme de $\vec{v_0}$ .

APPREA

T2.2

Établir les expressions littérales des composantes a_x et a_z du vecteur accélération $\vec{a_G}$ du centre de masse du crapaud suivant les axes Ox et Oz.

REA

T2.2

Établir les expressions littérales des composantes v_x(t) et v_z(t) du vecteur vitesse $\vec{v_G}$ du centre de masse du crapaud suivant les axes Ox et Oz.

REA

T2.2

Montrer que les expressions littérales des équations horaires x(t) et z(t) de la position du centre de masse G du crapaud au cours de son mouvement s'écrivent :

\begin{cases} x(t) = v_0 \cos(\alpha)\,t \\[2pt] z(t) = -\tfrac{1}{2}\,g\,t^2 + v_0 \sin(\alpha)\,t \end{cases}

REA

T2.2

Établir l'expression de la durée du saut du crapaud, notée t_saut, en fonction de v₀, g et α.

REA

T2.2

En utilisant l'expression de x(t) et l'expression de t_saut obtenue à la réponse à la question Q4, montrer que la vitesse v₀ permettant au crapaud d'effectuer un saut de longueur d est donnée par la relation :

v_0 = \sqrt{\dfrac{g \cdot d}{2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}}

REAVAL

T2.2

Sachant que les crapauds les plus puissants peuvent faire des sauts d'une longueur égale à 20 fois leur taille, calculer la valeur de v₀ qu'ils atteignent pour un angle α = 45°.

2.22. Hauteur maximale et dimensionnement des barrières

La hauteur maximale z_max d'un saut est obtenue lorsque ce saut est vertical ; l'angle α vaut alors α = 90°, la vitesse initiale est toujours notée v₀.

REA

T2.2

Établir que la hauteur maximale d'un saut a pour expression littérale :

z_{\max} = \dfrac{v_0^2}{2g}

REAVAL

T2.2

En déduire la valeur de la hauteur de barrière minimale, notée H_champion, qui permet d'arrêter les crapauds les plus puissants, capables de sauter verticalement avec une vitesse initiale v₀ de valeur calculée à la question Q6.

VALCOM

T2.2

Les barrières mesurent en réalité 50 à 60 cm de hauteur. Donner un argument permettant d'expliquer pourquoi on choisit d'installer des barrières d'une hauteur inférieure à H_champion.

Exercice 36 pts≈ 1 h

Modélisation d'un détecteur capacitif d'humidité

T4.4·Étudier la dynamique d'un dipôle RC

#condensateur#permittivité#circuit RC#équation différentielle#constante de temps#microcontrôleur#Python#arrosage automatique

Correctement calibré, un système d'arrosage automatique de végétaux permet un arrosage homogène, à un moment opportun et sans gaspillage d'eau. À cet effet, il peut être déclenché grâce à l'utilisation d'un détecteur capacitif d'humidité du sol.

L'objectif de cet exercice est d'étudier une modélisation simple d'un détecteur capacitif d'humidité puis de l'utiliser pour illustrer le principe d'une mesure de la teneur en eau d'un sol.

Données

dans cet exercice, le détecteur capacitif d'humidité est modélisé par un condensateur plan dont la capacité C varie en fonction de l'humidité du sol ;
le condensateur est constitué de deux plaques (ou armatures) métalliques de surface S séparées d'une distance d plantées dans un sol de permittivité ε.

3.11. Modélisation de la charge du condensateur

Figure 1. Schéma en perspective de deux plaques rectangulaires parallèles, séparées d'une distance notée d, plantées dans un bloc représentant le sol. Une étiquette désigne les armatures de surface S.

La capacité C (en farad F) du condensateur s'exprime en fonction de la surface S (en m²) de ses armatures, de la distance d (en m) qui les sépare et d'un paramètre caractéristique du sol appelé permittivité ε (en F·m⁻¹) du sol par la relation :

C = \dfrac{\varepsilon \cdot S}{d}

On appelle « teneur en eau » le pourcentage volumique d'eau dans le sol. On présente ci-dessous la courbe de la permittivité ε d'un sol argileux en fonction de sa teneur en eau.

Figure 2. Courbe croissante de la permittivité du sol, en 10⁻¹⁰ F·m⁻¹, en fonction de la teneur en eau exprimée en pourcentage, de 0 à 55 %. Cinq points de mesure marqués par des croix jalonnent la courbe.

ANACOM

T4.4

Prévoir qualitativement le sens de variation de la capacité C du détecteur capacitif d'humidité quand la teneur en eau d'un sol argileux augmente.

APPREA

T4.4

Le condensateur de capacité C, modélisant le détecteur, est branché en série avec un générateur délivrant une tension constante E, un interrupteur K et un conducteur ohmique de résistance R. Le circuit ainsi constitué est modélisé par un circuit de type RC représenté ci-dessous. À la date t = 0 s, le condensateur est déchargé et on ferme l'interrupteur.

Schéma d'un circuit série comportant un générateur de tension E, un interrupteur K, un conducteur ohmique R et un condensateur C. Les tensions uR(t) et uC(t) et le courant i(t) sont fléchés.

Montrer que la tension aux bornes du condensateur obéit à l'équation différentielle ci-dessous. Exprimer littéralement le temps caractéristique τ du circuit en fonction de R et de C.

\tau \times \dfrac{\text{d}u_C}{\text{d}t} + u_C = E

REA

T4.4

Vérifier que la fonction ci-dessous est solution de cette équation différentielle et qu'elle satisfait à la condition imposée à la date t = 0 s.

u_C(t) = E \times \left(1 - e^{-t/\tau}\right)

REAVAL

T4.4

Montrer que la valeur de u_C à l'instant τ est approximativement : u_C(τ) = 0,63 × E.

3.22. Modélisation de la mesure de la teneur en eau d'un sol argileux

La mesure du temps caractéristique du circuit RC permet d'accéder à la valeur de la teneur en eau du sol. Cette mesure est réalisée à l'aide d'un microcontrôleur connecté au circuit RC décrit ci-dessus. Il permet entre autres de commander des alternances charge-décharge du condensateur, de mesurer la tension aux bornes du condensateur, et d'afficher après calcul la valeur de la teneur en eau.

Pour déterminer le temps caractéristique du circuit RC, on enregistre l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur à l'aide du microcontrôleur ; celui-ci relève 52 000 valeurs de la tension par seconde.

Pour que la mesure soit suffisamment précise, on doit disposer d'au moins 10 valeurs de tension aux bornes du condensateur avant d'atteindre le temps caractéristique du circuit RC.

REAVAL

T4.4

Montrer que le temps caractéristique τ du circuit RC doit être au minimum de l'ordre de 200 μs.

2 ptsREAVALCOM

T4.4

Le condensateur possède les caractéristiques géométriques suivantes : S = 1,0×10⁻¹ m² et d = 1,0×10⁻² m. La valeur de la résistance R du circuit est R = 2,2×10⁵ Ω.

À l'aide de la contrainte sur le temps caractéristique τ du circuit RC, déterminer la teneur minimale en eau d'un sol argileux qu'il est possible de mesurer avec ce dispositif.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

ANACOM

T4.4

Le microcontrôleur réalise un traitement automatique des données s'appuyant sur un programme, écrit en langage Python, dont une partie est donnée ci-dessous :

1  # Arrosage automatique pour un sol argileux
2  E = 5.0
3  tension = 0            # définition de la tension aux bornes du condensateur
4  t_i = time.time()      # définition de l'instant initial

5  while tension < ...    # boucle et condition
6      tension = analogRead(A0) * (5.0 / 1023.0)   # transforme la mesure en tension

7  t_f = time.time()      # mesure de l'instant final
8  tau = t_f - t_i
9  print("valeur de tau en ms :", tau)             # affichage d'une valeur sur l'écran

La commande « while » associée à une condition permet de créer une boucle qui répète la liste d'instructions qui suit, tant que la condition est satisfaite.

Indiquer l'objectif final de cet extrait de programme.

REA

T4.4

Recopier la ligne 5 du programme sur la copie et compléter la condition sur la valeur de la tension aux bornes du condensateur.

2 ptsREAVALCOM

T4.4

Le détecteur est inséré dans un sol argileux. Dans ce type de sol, la teneur en eau doit être comprise entre 24 % et 38 % pour qu'une plante puisse y avoir une croissance normale. Le programme renvoie le résultat suivant :

valeur de tau en ms : 0.28676687987

Déterminer si la teneur en eau mesurée dans ce sol argileux est suffisante pour assurer une croissance normale d'une plante.

Méthodologie · Bac

Chaque corrigé suit une méthodologie de rédaction rigoureuse, avec formule littérale annoncée, étapes de calcul détaillées, analyse dimensionnelle et phrase de conclusion explicite. Compétences APP / ANA / REA / VAL / COM affichées par question pour cibler les attendus officiels de la grille d'évaluation Bac.

Liaison

O−H

C−H

C=C

C=O

Nombre d'onde (en cm⁻¹)

3200 − 3700

2850 − 3100

1620 − 1680

1650 − 1730

Allure de la bande caractéristique

Forte et large

Forte

Faible et fine

Forte et fine

1 # Arrosage automatique pour un sol argileux 2 E = 5.0 3 tension = 0 # définition de la tension aux bornes du condensateur 4 t_i = time.time() # définition de l'instant initial 5 while tension < ... # boucle et condition 6 tension = analogRead(A0) * (5.0 / 1023.0) # transforme la mesure en tension 7 t_f = time.time() # mesure de l'instant final 8 tau = t_f - t_i 9 print("valeur de tau en ms :", tau) # affichage d'une valeur sur l'écran