Indigo et carmin (E132) · Perche Duplantis (au choix) · Supercondensateurs bus (au choix) · Exoplanète 51 Peg b (au choix)

L'indigo peut être synthétisé à partir du 2-nitrobenzaldéhyde et de l'acétone selon la transformation modélisée par l'équation de réaction suivante :

Protocole de la synthèse

• Introduire 0,50 g de 2-nitrobenzaldéhyde dans un erlenmeyer.
• Ajouter 5,0 mL d'acétone puis environ 10 mL d'eau distillée et boucher.
• Utiliser l'agitateur magnétique pour dissoudre totalement le solide.
• Ajouter lentement 5,0 mL de solution d'hydroxyde de sodium à 2,0 mol·L⁻¹ et poursuivre l'agitation pendant 5 min.
• Filtrer sous vide. Rincer le solide avec de l'eau puis avec de l'éthanol. Sécher le solide.

Le carmin d'indigo est utilisé dans le domaine médical pour colorer l'urine d'un patient en bleu afin de réaliser certains diagnostics.

On dispose d'une solution injectable S de carmin d'indigo. L'objectif de cette partie est de déterminer la concentration en masse de cette solution pour en déduire le volume maximal à injecter pour ne pas dépasser la dose journalière admissible.

On donne ci-dessous le spectre d'absorption du carmin d'indigo :

Donnée : cercle chromatique

Le mouvement complet d'Armand Duplantis, lors de son record du monde, est filmé puis étudié à l'aide d'un logiciel de pointage. Les données de la partie ascendante du mouvement sont traitées à l'aide d'un programme écrit en langage python qui permet de représenter l'évolution au cours du temps des énergies cinétique E_c, potentielle de pesanteur E_pp, potentielle élastique E_pe et mécanique E_m du système défini par l'ensemble {sportif + perche}. Un extrait de ce programme est donné ci-dessous :

Pour la partie ascendante du mouvement de l'athlète, on obtient les courbes suivantes :

Au moment du franchissement de la barre, le centre de masse de l'athlète se situe à l'altitude z_A et sa vitesse est considérée comme nulle.

On note z_B l'altitude du centre de masse de l'athlète au moment de son impact avec le tapis. On négligera l'action de l'air.

Au contact tapis : v_0z = −10,2 m·s⁻¹, v_0x = 0. Modèle : F_T verticale vers le haut, constante. Décélération max admise : a_z = 10·g.

Une entreprise française, spécialisée dans la recherche de solutions de transports électriques, est à l'origine d'une solution innovante qui consiste à remplacer les batteries des bus électriques par des supercondensateurs. Les arrêts de bus sont composés d'une unité, appelée totem, qui contient également des supercondensateurs.

Le principe est le suivant : à chaque arrêt, le bus se connecte de manière automatique et rapide au totem. Le transfert d'énergie électrique entre les supercondensateurs du totem et les supercondensateurs embarqués dans le bus s'effectue alors en environ 10 s. Cette phase, appelée « biberonnage », doit être parfaitement sécurisée. En effet, l'intensité du courant électrique peut atteindre plusieurs milliers d'ampères en début de transfert.

Chaque supercondensateur utilisé dans le totem a une tension nominale E. Il s'agit de la tension atteinte lorsque le supercondensateur de capacité C est totalement chargé. Après avoir chargé complètement un supercondensateur sous sa tension nominale E, on le place dans le circuit schématisé ci-dessous. Et à l'instant t = 0, on bascule l'interrupteur K en position fermée.

On désigne par q(t) la charge électrique portée par l'armature positive du condensateur à l'instant t comme indiqué sur le schéma du circuit.

Données :

• valeur initiale de la tension aux bornes du condensateur : u_C(0) = E = 2,7 V ;
• valeur de la résistance : R = 100 ± 2 mΩ, où ce qui suit le ± est l'incertitude-type.

Le totem contient une association d'un grand nombre de supercondensateurs. Cette association se comporte comme un unique condensateur, appelé condensateur totem, de capacité notée C_totem = 20 F. La tension nominale du condensateur totem a pour valeur E_totem = 760 V.

La courbe ci-après représente l'évolution temporelle de la tension u_C lors de la décharge du condensateur totem dans une résistance.

Dans le cas du système double, constitué de l'exoplanète 51 Peg b et de son étoile 51 Peg a, les deux astres orbitent chacun autour du centre de masse B du système double. L'étoile 51 Peg a est animée d'un mouvement circulaire uniforme autour de B qui se manifeste par une variation de la coordonnée de son vecteur-vitesse selon l'axe de visée. Sur la figure suivante, le vecteur-vitesse de l'étoile est représenté par une flèche. Sa coordonnée selon l'axe de visée est : positive et maximale pour la position 1 ; nulle pour les positions 2 et 4 ; négative et minimale pour la position 3.

On détecte la variation de la coordonnée de ce vecteur-vitesse à travers l'effet induit sur le spectre lumineux de l'étoile. Cette coordonnée varie de façon périodique : la période correspond également à la période de révolution de l'exoplanète autour de son étoile.

Le système exoplanétaire, constitué de l'étoile 51 Peg a et de son exoplanète 51 Peg b, est observé depuis la Terre. On se pose la question de savoir s'il est possible de distinguer 51 Peg a et 51 Peg b à l'œil nu ou à travers une lunette pour astronome amateur.

L'œil peut distinguer deux objets si l'angle de séparation est au minimum de 3,0 × 10⁻⁴ rad.

Pour des objets lointains, comme les étoiles, l'angle α qui sépare deux objets A et B vus de la Terre est donné par $\alpha = \dfrac{AB}{D}$. L'angle est exprimé en radian.