Bac 2021Métropole · J2 remplacementCorrigé complet

Vol d'une montgolfière · L'encre et son effaceur (au choix) · Étude d'une pile au laboratoire (au choix) · Synthèse de l'acide caprylique par sonochimie (au choix)

Durée : 3 h 3020 points3 exercices

Chapitres BO travaillés

T3.1·Modèle du gaz parfait T3.2·Premier principe / bilans thermiques T2.5·Modéliser l'écoulement d'un fluide T2.2·Deuxième loi de Newton T1.2·Analyser un système par des méthodes physiques T1.4·Suivre et modéliser l'évolution temporelle (cinétique)T1.6·Sens d'évolution spontanée (équilibre, pile)

PDF du sujet officiel

Session de remplacement 2021, Métropole J2 : le candidat traite l'exercice 1 puis choisit 2 exercices parmi les 3 proposés. Exo commun : le vol d'une montgolfière (gaz parfait, poussée d'Archimède, puis bilan de puissance thermique (rayonnement, conducto-convection) et autonomie de vol). Choix : l'encre et son effaceur (dosage par étalonnage et cinétique de la décoloration), l'étude d'une pile au laboratoire (pile aluminium-cuivre, quotient de réaction, capacité électrique), ou la synthèse de l'acide caprylique par sonochimie (acide faible, ultrasons, spectroscopie IR, rendement). Les exercices A et B, les plus centraux du programme, sont intégralement corrigés ci-dessous.

Exercice 110 pts≈ 1 h 45

Vol d'une montgolfière

T3.1·Modèle du gaz parfait T3.2·Premier principe / bilans thermiques T2.5·Modéliser l'écoulement d'un fluide T2.2·Deuxième loi de Newton

#montgolfière#gaz parfait#masse volumique#poussée d'Archimède#équilibre mécanique#transferts thermiques#rayonnement#loi de Stefan-Boltzmann#conducto-convection#résistance thermique#bilan de puissance#énergie de combustion

Une montgolfière est un moyen de transport aérien constitué d'une nacelle pouvant contenir des passagers. Au-dessus de la nacelle se trouvent une enveloppe en nylon appelée le ballon, dont on considère le volume constant, et un brûleur permettant de réaliser la combustion de propane dans le dioxygène de l'air ; ce propane est stocké dans des bonbonnes transportées dans la nacelle. Les sorties proposées durent en moyenne une heure. Objectifs : déterminer la masse totale qu'il est possible d'embarquer, puis trouver l'autonomie de vol maximale.

On étudie une enveloppe en nylon de modèle « M-77 » de 0,1 mm d'épaisseur, de volume V = 2 200 m³, à laquelle on accroche une nacelle de modèle « C-1 », de masse m_nacelle = 56 kg. La nacelle est capable d'embarquer jusqu'à trois personnes ainsi que quatre bonbonnes pesant chacune 40 kg et contenant 20 kg de propane chacune.

Données

Intensité de la pesanteur terrestre : g = 9,81 m·s⁻²
Surface de l'enveloppe du ballon : S = 847 m²
Masse par unité de surface de l'enveloppe en nylon : φ_nylon = 65 g·m⁻²
Constante du gaz parfait : R = 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹
Masse molaire de l'air : M_air = 29,0 g·mol⁻¹

1.11, Détermination de la masse totale qu'il est possible d'embarquer

Au cours d'un vol, la montgolfière se trouve à une altitude de 1,5 km. On considère que la pression p à l'intérieur du ballon est égale à la pression à l'extérieur du ballon. La figure 1 présente l'évolution de la pression de l'air en fonction de l'altitude. L'air est considéré comme un gaz parfait. Le brûleur n'est pas actionné au moment où on étudie le système.

Figure 1 : pression de l'air en fonction de l'altitude. En ordonnée, la pression en pascals de 60 000 à 100 000 ; en abscisse, l'altitude en mètres de 0 à 4500. Les points expérimentaux décroissent régulièrement quand l'altitude augmente.

1.1.1

APPREA

T3.1

À l'aide de l'équation d'état du gaz parfait, exprimer la masse volumique de l'air contenu dans le ballon ρ_int en fonction de la pression p, de M_air, de R et de T, la température de l'air contenu dans le ballon.

1.1.2

REAVAL

T3.1

Montrer que la valeur de la masse volumique de l'air contenu dans le ballon ρ_int lorsque le ballon est à une altitude de 1,5 km est de l'ordre de 0,8 kg·m⁻³. On suppose que la température de l'air à l'intérieur du ballon à l'instant où on étudie le système est de 373 K.

1.21.2, Étude du système « montgolfière »

On suit le déplacement du centre de masse G de la montgolfière. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un repère d'espace (O, $\vec{i}$ , $\vec{k}$ ) : origine O au niveau du sol au point de décollage, axe Ox horizontal de vecteur unitaire $\vec{i}$ , axe Oz vertical ascendant de vecteur unitaire $\vec{k}$ (figure 2 du sujet). Deux forces seulement s'exercent sur le système {montgolfière} composé de la nacelle, de son chargement et du ballon :

le poids $\vec{P}$ ;
la poussée d'Archimède qui modélise l'action de l'air sur le ballon : $\vec{P}_A = \rho_{\text{ext}} \cdot V \cdot g \cdot \vec{k}$ , où ρ_ext représente la masse volumique de l'air extérieur et V le volume total de la montgolfière, considéré égal au volume du ballon.

On considère que la masse d'air présente dans le ballon est constante et que la montgolfière, de masse totale m, reste immobile. À la température locale et à l'altitude de vol de 1,5 km, la masse volumique de l'air extérieur au ballon vaut 1,06 kg·m⁻³ tandis que la masse volumique de l'air à l'intérieur du ballon vaut 0,80 kg·m⁻³.

1.2.1

APPCOM

T2.2T2.5

Représenter les deux forces s'exerçant sur la montgolfière dans le cas où elle est immobile dans le référentiel terrestre, sans souci d'échelle, en utilisant le système d'axes de la figure 2. Justifier.

1.2.2

APP

T2.2

Donner l'expression vectorielle du poids $\vec{P}$ de la montgolfière.

1.2.3

ANA

T2.5T2.2

Établir l'expression vectorielle de la poussée d'Archimède $\vec{P}_A$ en fonction de g, m et $\vec{k}$ .

1.2.4

ANAREAVAL

T2.5T3.1

En déduire la masse totale embarquée dans la nacelle à cette altitude. Commenter.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

1.32, Détermination de l'autonomie maximale de vol

En réalité, la montgolfière ne reste pas à une altitude constante : son altitude varie autour d'une altitude moyenne, au gré de l'actionnement du brûleur par le pilote. L'utilisation du brûleur est nécessaire pour maintenir une altitude moyenne constante. On considère que la montgolfière est en vol, stabilisée à une altitude moyenne de 1,5 km. La température extérieure est T_ext = 278 K au cours du vol. On cherche à établir le bilan énergétique entre le système {air à l'intérieur de l'enveloppe + enveloppe}, appelé « ballon », et le milieu extérieur.

La figure 3 présente les transferts thermiques qui ont lieu entre le système {ballon} et le milieu extérieur. En régime stationnaire, la montgolfière est en équilibre thermique.

Figure 3 : bilan de puissance du système. Un schéma du ballon, au centre, est entouré de flèches légendées : le flux thermique associé au rayonnement solaire et terrestre (P ray reçu = 1,9×10⁵ W) et le flux associé à la combustion du propane (P comb) entrent dans le ballon ; le flux de rayonnement de l'enveloppe (P r), le flux conducto-convectif (Φ) et le flux associé à la sortie d'air par l'ouverture du ballon à sa base (P ouverture = 1,8×10⁴ W) en sortent. Le sens de chaque flèche indique si le flux est reçu ou cédé.

2.1

APPCOM

T3.2

Nommer les trois modes de transferts thermiques. Caractériser qualitativement ces trois modes.

2.2

ANA

T3.2

À l'aide de la figure 3, établir une relation littérale entre les flux thermiques impliqués pour le système lorsque la montgolfière est à l'équilibre thermique.

2.3

REA

T3.2

Une partie du transfert thermique a lieu sous forme de rayonnement de l'enveloppe vers le milieu extérieur. Le calcul du flux thermique rayonné se fait grâce à la relation de Stefan-Boltzmann :

P_r = \varepsilon \cdot \sigma \cdot S \cdot T^4

avec ε = 0,87 le coefficient d'émissivité de l'enveloppe (sans unité), σ = 5,67×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ la constante de Stefan, S la surface de l'enveloppe et T la température de surface de l'enveloppe en K. D'après l'étude, la température de l'enveloppe vaut T = 325 K, température intermédiaire entre celle de l'air intérieur et celle de l'air extérieur.

Calculer le flux thermique par rayonnement P_r émis par l'enveloppe vers le milieu extérieur.

2.4

REA

T3.2

Les mouvements de l'air extérieur le long de l'enveloppe sont à l'origine d'un flux thermique transféré vers l'extérieur par un phénomène de conducto-convection, calculé par la relation :

\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}}

où ΔT représente la différence de température entre l'enveloppe et le milieu extérieur (en K) et R_th = 3,5×10⁻⁴ K·W⁻¹ la résistance thermique associée.

Calculer le flux conducto-convectif Φ.

2.5

REAVAL

T3.2

En déduire que la valeur du flux thermique P_comb associé à la combustion du propane en régime de croisière est de l'ordre de 4×10⁵ W.

2.6

REA

T3.2

Le flux thermique associé à la combustion du propane n'est pas libéré de façon continue : la combustion n'a lieu que lorsque le brûleur fonctionne. L'énergie de combustion massique du propane est E_comb = 46,4 MJ·kg⁻¹. Lorsque le brûleur est en fonctionnement, 68 grammes de propane sont brûlés chaque seconde.

Montrer que le flux thermique associé à la combustion du propane lorsque le brûleur est en fonctionnement est de l'ordre de 3×10⁶ W.

2.7

ANAREAVAL

T3.2

Le pilote actionne le brûleur pendant une durée τ selon le fonctionnement décrit sur la figure 4. Lorsque le brûleur est en fonctionnement, 68 grammes de propane sont brûlés chaque seconde.

Figure 4 : débit de sortie du propane du brûleur en fonction du temps. En ordonnée, le débit en g·s⁻¹ de 0 à 80 ; en abscisse, le temps en secondes de 0 à 45. Le débit est nul au repos et forme des créneaux répétés ; la durée d'un créneau est notée τ et la période du cycle est notée T brûleur.

Dans les conditions de l'étude, déterminer la durée maximale de vol qu'il est possible de réaliser à l'aide du propane embarqué dans la montgolfière. Commenter.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Exercice 25 pts≈ 50 min

Au choix A, L'encre et son effaceur

T1.2·Analyser un système par des méthodes physiques T1.4·Suivre et modéliser l'évolution temporelle (cinétique)T1.6·Sens d'évolution spontanée (équilibre, pile)

#bleu d'aniline#spectre d'absorption#couleur complémentaire#dosage par étalonnage#loi de Beer-Lambert#dilution#oxydoréduction#cinétique chimique#réactif limitant#temps de demi-réaction

L'encre bleue utilisée dans les stylos-plume contient, entre autres, du bleu d'aniline qui contribue à sa couleur. C'est cette couleur qui doit disparaître lors de l'utilisation d'un effaceur. Dans un premier temps, l'objectif de l'exercice est l'étude du bleu d'aniline et la détermination de sa masse dans une cartouche d'encre ; dans un second temps, l'étude de la vitesse de disparition de l'encre lorsqu'on efface. Le bleu d'aniline est un sel de sodium noté (2 Na⁺(aq) ; HBleu²⁻(aq)) ; on suppose que seuls les ions HBleu²⁻(aq) sont responsables de la couleur de l'encre.

Figure 1 : formule topologique du bleu d'aniline dans l'eau, (2 Na⁺(aq) ; C₃₂H₂₅N₃O₉S₃²⁻(aq)). La molécule comporte trois cycles benzéniques reliés à un carbone central, portant des groupes sulfonate SO₃⁻ et des groupes amine.

Figure 2 : cercle chromatique. Un disque partagé en six secteurs colorés : violet, bleu, vert, jaune, orange, rouge, repérés par les longueurs d'onde 400, 450, 500, 570, 590, 630 et 700 nm. Deux couleurs diamétralement opposées sur le cercle sont complémentaires.

Données

Masses molaires en g·mol⁻¹ : hydrogène 1,0 ; oxygène 16,0 ; sodium 23,0 ; soufre 32,0 ; bleu d'aniline 737,7
Couple oxydant/réducteur associé au bleu d'aniline : HBleu²⁻(aq)/H₃Bleu²⁻(aq)
Couple oxydant/réducteur hydrogénosulfate/hydrogénosulfite : HSO₄⁻(aq)/HSO₃⁻(aq)
Les solutions aqueuses d'ions H₃Bleu²⁻(aq), HSO₄⁻(aq) et HSO₃⁻(aq) sont incolores

2.11, Le bleu d'aniline

Pour caractériser la couleur du bleu d'aniline d'une cartouche d'encre, on vide intégralement une cartouche dans une fiole jaugée de 200,0 mL et on complète avec de l'eau distillée jusqu'au trait de jauge. On obtient la solution S_encre dont on réalise le spectre d'absorption au spectrophotomètre (figure 3).

Figure 3 : spectre d'absorption de la solution d'encre S encre. En ordonnée, l'absorbance A de 0 à 1 ; en abscisse, la longueur d'onde λ en nanomètres de 350 à 850. La courbe est quasi nulle aux extrémités et présente une large bande d'absorption avec un maximum marqué.

1.1

APPANA

T1.2

Justifier la couleur de la solution S_encre.

1.2

APPREA

T1.2

Pour déterminer la masse de bleu d'aniline dans la cartouche, on réalise une solution mère S₀ de concentration en bleu d'aniline c₀ = 6,78×10⁻⁴ mol·L⁻¹, puis cinq solutions filles par dilution :

Solution fille	S₁	S₂	S₃	S₄	S₅
Volume prélevé de S₀, V₀ (mL)	10,0	20,0	25,0	33,0	50,0
Volume de solution fille V_f (mL)	100,0	100,0	100,0	100,0	100,0
Concentration c_f (mol·L⁻¹)	6,78×10⁻⁵	…	1,69×10⁻⁴	2,24×10⁻⁴	3,39×10⁻⁴
Absorbance A	0,322	0,584	0,882	1,195	1,489

Nommer la verrerie nécessaire pour réaliser la solution fille S₁.

1.3

REA

T1.2

Déterminer la valeur de la concentration en quantité de matière de la solution fille S₂ manquante dans le tableau de valeurs.

1.4

ANAREA

T1.2

On représente l'absorbance des solutions filles en fonction de la concentration en bleu d'aniline, mesurée à la longueur d'onde λ = 590 nm retenue pour l'étude (figure 4).

Figure 4 : courbe d'étalonnage : absorbance en fonction de la concentration en bleu d'aniline. En ordonnée, l'absorbance A de 0 à 1,1 ; en abscisse, la concentration c en mmol·L⁻¹ de 0 à 0,25. Les cinq points de mesure sont alignés sur une droite passant par l'origine ; un encadré donne l'équation de la modélisation A = 5,273 × c, avec c en mmol·L⁻¹.

À la longueur d'onde retenue pour l'étude, l'absorbance de la solution S_encre est égale à 0,9. Déterminer la masse de bleu d'aniline contenue dans une cartouche d'encre.

2.22, Étude de l'effacement de l'encre

L'effaceur d'encre contient une solution d'hydrogénosulfite de sodium qui réagit avec le bleu d'aniline. On souhaite étudier la transformation qui a lieu lorsqu'on efface l'encre à l'aide de l'effaceur.

2.1

REA

T1.6

Établir l'équation de la réaction modélisant la transformation entre les ions HSO₃⁻(aq) et les ions HBleu²⁻(aq).

2.2

ANACOM

T1.4

Justifier l'utilité de la présence dans l'effaceur d'une solution contenant des ions hydrogénosulfite.

2.3

ANAREAVAL

T1.4

Pour étudier la cinétique de cette transformation, on réalise le protocole suivant :

on prépare 100,0 mL d'une solution d'encre en mettant 5 gouttes d'encre que l'on dilue dans une fiole jaugée complétée avec de l'eau ;
on mélange 4 mL de la solution d'encre avec 1 mL de solution aqueuse d'hydrogénosulfite de sodium de concentration 9,0×10⁻² mol·L⁻¹ ;
on suit l'évolution de l'absorbance de la solution S_mélange obtenue en fonction du temps (figure 5).

Figure 5 : évolution de l'absorbance de la solution S mélange en fonction du temps, à la longueur d'onde retenue pour l'étude. En ordonnée, l'absorbance A de 0 à 1,2 ; en abscisse, le temps t en secondes de 0 à 200. Les points décroissent très rapidement au début puis se rapprochent d'une valeur limite proche de zéro.

Une cartouche d'encre de 0,75 mL contient 25 mg de bleu d'aniline. Sachant que 20 gouttes d'encre ont un volume de 1 mL, déterminer le réactif limitant de la transformation. Commenter.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée. Cette question est indépendante de la suite de l'étude.

2.4

ANAVAL

T1.4

La figure 5 du sujet donne l'évolution de l'absorbance de S_mélange au cours du temps, à la longueur d'onde retenue pour l'étude : A vaut environ 1,15 à t = 0, décroît très vite (A ≈ 0,74 à 2 s ; 0,59 à 6 s ; 0,44 à 10 s ; 0,24 à 20 s ; 0,10 à 40 s) puis atteint un palier proche de 0 (A ≈ 0,04) au-delà d'environ 80 s.

Estimer le temps de demi-réaction. Commenter le résultat.

Exercice 35 pts≈ 50 min

Au choix B, Étude d'une pile au laboratoire

T1.6·Sens d'évolution spontanée (équilibre, pile)

#pile#dissolution#protocole expérimental#quotient de réaction#constante d'équilibre#sens d'évolution spontanée#oxydoréduction#électrodes#pont salin#capacité électrique#réactif limitant

Chaque année en France, 1,3 milliard de piles sont vendues dans le commerce. Petits réservoirs d'énergie, elles constituent des objets indispensables au quotidien. L'objectif de cet exercice est d'étudier le fonctionnement d'une pile réalisée au laboratoire et de comparer sa capacité électrique à celle d'une pile AA vendue dans le commerce, de capacité 2 800 mAh.

Pour réaliser la pile étudiée, deux solutions aqueuses sont préparées : une de sulfate d'aluminium notée S et une de sulfate de cuivre (Cu²⁺(aq) ; SO₄²⁻(aq)) notée S′, toutes les deux à la concentration en soluté apporté C = 0,100 mol·L⁻¹. Le sulfate d'aluminium est un solide de formule Al₂(SO₄)₃(s), disponible sous forme de poudre.

La pile est assemblée selon le schéma de la figure 1 représenté ci-dessous.

Figure 1 : schéma de la constitution de la pile. Deux béchers contenant chacun 50,0 mL de solution à la concentration C : celui de gauche, de sulfate d'aluminium, où plonge une plaque d'aluminium de masse 19,2 g ; celui de droite, de sulfate de cuivre, où plonge une plaque de cuivre. Les deux béchers sont reliés par un pont salin en U, réalisé à l'aide d'un gel imbibé d'une solution aqueuse saturée en chlorure d'ammonium (NH₄⁺(aq) ; Cl⁻(aq)). Les deux plaques sont reliées à un voltmètre dont les bornes COM et V sont repérées.

Données

Masses molaires : M(Al) = 27,0 g·mol⁻¹ ; M(Al₂(SO₄)₃) = 342,15 g·mol⁻¹
Couples oxydant/réducteur : Cu²⁺(aq)/Cu(s) et Al³⁺(aq)/Al(s)
Charge élémentaire : e = 1,602×10⁻¹⁹ C
Constante d'Avogadro : N_A = 6,022×10²³ mol⁻¹
1 mAh = 3,60 C

3.1Préparation des solutions et polarité de la pile

ANAREACOM

T1.6

Rédiger le protocole expérimental précis à mettre en œuvre pour préparer 50,0 mL de la solution S à partir du sulfate d'aluminium en poudre.

REA

T1.6

Calculer les concentrations en quantité de matière en ions aluminium Al³⁺(aq) et en ions sulfate SO₄²⁻(aq) dans la solution S.

ANA

T1.6

Pour déterminer la polarité de la pile, un voltmètre est relié aux deux plaques métalliques : la borne COM du voltmètre est reliée à la plaque d'aluminium. Dans ces conditions, la tension mesurée aux bornes de la pile vaut U = 0,92 V. Déterminer le pôle positif de la pile à l'aide du montage expérimental de la figure 1.

APPANA

T1.6

Le voltmètre est retiré puis remplacé par un conducteur ohmique de résistance R. Compléter le schéma fourni en annexe (identique à la figure 1, avec le conducteur ohmique à la place du voltmètre) en y indiquant la polarité de la pile, le sens du courant électrique et le sens de circulation des porteurs de charge dans la pile et à l'extérieur de la pile lors de son fonctionnement.

3.2Fonctionnement et capacité électrique

REA

T1.6

Établir les équations modélisant les réactions aux électrodes lors du fonctionnement de la pile. En déduire que l'équation de la réaction modélisant le fonctionnement de la pile s'écrit :

3\,\text{Cu}^{2+}(aq) + 2\,\text{Al}(s) \longrightarrow 3\,\text{Cu}(s) + 2\,\text{Al}^{3+}(aq)

REAVAL

T1.6

La constante d'équilibre associée à cette réaction a pour valeur K ≈ 10²⁰⁰ à 25 °C. Montrer que la valeur initiale du quotient de réaction du système vaut Q_r,i = 40. Conclure quant à l'évolution du système.

7.1

REA

T1.6

Déterminer quel est le réactif limitant.

7.2

REAVAL

T1.6

Déterminer la capacité électrique Q de la pile du laboratoire, puis la comparer aux piles commerciales de type « AA ».

ANACOM

T1.6

Identifier un paramètre de la composition de la pile de laboratoire qu'il faudrait faire évoluer pour augmenter la capacité électrique de la pile, en précisant comment ce paramètre doit évoluer. Justifier.

Méthodologie · Bac

Chaque corrigé suit une méthodologie de rédaction rigoureuse, avec formule littérale annoncée, étapes de calcul détaillées, analyse dimensionnelle et phrase de conclusion explicite. Compétences APP / ANA / REA / VAL / COM affichées par question pour cibler les attendus officiels de la grille d'évaluation Bac.

Solution fille

S₁

S₂

S₃

S₄

S₅

Volume prélevé de S₀, V₀ (mL)

10,0

20,0

25,0

33,0

50,0

Volume de solution fille V_f (mL)

100,0

Concentration c_f (mol·L⁻¹)

6,78×10⁻⁵

…

1,69×10⁻⁴

2,24×10⁻⁴

3,39×10⁻⁴

Absorbance A

0,322

0,584

0,882

1,195

1,489