Bac 2021Métropole · Jour 2Corrigé complet

L'aquarium récifal (pH tampon, salinité par conductimétrie, synthèse du praziquantel, adsorption sur charbon actif) · Saut stratosphérique de Baumgartner (au choix) · Détecteur de passager, circuit RC (au choix) · Taille des mailles d'un tamis, diffraction et interférences (au choix)

Durée : 3 h 3020 points4 exercices

Chapitres BO travaillés

T1.1·Modéliser des transformations acide-base T1.7·Comparer la force des acides et des bases T1.3·Analyser un système par des méthodes chimiques (titrages)T1.9·Élaborer des stratégies en synthèse organique T1.2·Analyser un système par des méthodes physiques T2.3·Mouvement dans un champ uniforme T2.4·Mouvement dans un champ de gravitation T2.2·Deuxième loi de Newton T4.4·Étudier la dynamique d'un dipôle RC T4.1·Caractériser les phénomènes ondulatoires

PDF du sujet officiel

Session 2021, Métropole Jour 2 (format Covid). Le candidat traite l'exercice 1 commun (10 points) puis 2 exercices au choix parmi les 3 proposés (5 points chacun).

Exercice commun : l'aquarium récifal (régulation du pH par solution tampon et diffuseur de CO₂, contrôle de la salinité par titrage conductimétrique des ions chlorure, synthèse du praziquantel, élimination du bleu de méthylène par adsorption sur charbon actif). Les trois exercices au choix sont : A : un saut stratosphérique (chute libre de Félix Baumgartner), B : un système de détection de passager (circuit RC série) et C : quelle taille pour les mailles d'un tamis ? (diffraction et interférences).

Corrigés PhyChiFlash de l'exercice commun et des deux choix les plus centraux du programme : A (le saut stratosphérique, mécanique) et C (le tamis, ondes). Le choix B (circuit RC) n'est pas rédigé ici.

Exercice 110 pts≈ 1 h 30

L'aquarium récifal

#solution tampon#pKA#diagramme de prédominance#électronégativité#polarité#titrage conductimétrique#conductivité molaire ionique#synthèse organique#rendement#dosage par étalonnage#adsorption

Un aquarium récifal reproduit un écosystème marin (coraux, crustacés, poissons). On étudie l'influence du pH et de la salinité, la synthèse d'un vermifuge (le praziquantel) et le traitement de l'eau au charbon actif.

Données à 25 °C

Couples acide/base du dioxyde de carbone dissous (CO₂, H₂O)_aq : (CO₂,H₂O)/HCO₃⁻ : $pK_{A1} = 6{,}4$ ; HCO₃⁻/CO₃²⁻ : $pK_{A2} = 10{,}3$
Masse molaire de l'ion chlorure : M(Cl⁻) = 35,5 g·mol⁻¹
Conductivités molaires ioniques (mS·m²·mol⁻¹) : Ag⁺ = 6,19 ; NO₃⁻ = 7,14 ; Na⁺ = 5,01 ; Cl⁻ = 7,63
Électronégativités (Pauling) : H (Z = 1) : 2,20 ; C (Z = 6) : 2,55 ; O (Z = 8) : 3,44
Structures : CO₂ linéaire (O=C=O) ; H₂O coudée

1.11. Régulation de l'acidité

Le pH optimal de l'aquarium vaut 8,1. La photosynthèse l'augmente le jour, il diminue la nuit ; on considère que l'eau se comporte comme une solution tampon. Un diffuseur injecte au besoin du CO₂ gazeux, qui se dissout en (CO₂,H₂O)_aq, susceptible de se dissocier en HCO₃⁻ puis CO₃²⁻.

Q1.1

APP

T1.1

Indiquer ce qui peut être mis en œuvre si la valeur du pH devient trop élevée dans l'aquarium.

Q1.2

APPCOM

T1.1

Citer les propriétés d'une solution tampon. Justifier l'utilisation d'une telle solution dans l'aquarium récifal.

Q1.3

ANAAPP

T1.1

En s'appuyant notamment sur les électronégativités des atomes, justifier la faible solubilité du dioxyde de carbone dans l'eau.

Q1.4

APP

T1.1T1.7

Indiquer, parmi les espèces acido-basiques associées au CO₂ dissous, celles qui sont des acides de Brønsted et celles qui sont des bases de Brønsted.

Q1.5

ANAREA

T1.7

En précisant la démarche suivie, indiquer l'espèce (ou les espèces) qui prédomine(nt) dans l'aquarium récifal (pH = 8,1).

Q1.6

ANACOM

T1.7T1.6

La formation du calcaire des coraux s'écrit $\text{Ca}^{2+}\text{(aq)} + \text{CO}_3^{\,2-}\text{(aq)} \rightarrow \text{CaCO}_3\text{(s)}$ . Expliquer pourquoi l'utilisation d'un diffuseur de CO₂ peut freiner la formation du squelette et de la coquille des coraux.

1.22. Contrôle de la salinité

La salinité est assimilée à la concentration en masse en ions chlorure Cl⁻ ; elle doit être comprise entre 19,3 et 19,6 g·L⁻¹. On prélève de l'eau de l'aquarium, on la dilue 10 fois, puis on titre 10,0 mL de cette solution (à laquelle on ajoute 200 mL d'eau distillée) par une solution de nitrate d'argent (Ag⁺ ; NO₃⁻) de concentration $C = 5{,}00\times10^{-2}$ mol·L⁻¹. Réaction support : $\text{Ag}^+ + \text{Cl}^- \rightarrow \text{AgCl}_{(s)}$ .

On obtient la courbe de suivi du titrage de la figure 1.

Figure 1 : conductivité de la solution en fonction du volume de solution de nitrate d'argent versé. En ordonnée, la conductivité en mS·cm⁻¹ de 140 à 240 ; en abscisse, le volume versé en millilitres de 0 à un peu plus de 25. Les points de mesure décrivent d'abord une portion de droite de faible pente, puis une portion de droite nettement plus raide ; un quadrillage fin permet la lecture graphique.

Q2.1

ANA

T1.3

Justifier qualitativement l'évolution de la pente de la courbe lors du titrage.

Q2.2

REAVALANA

T1.3

Indiquer si un traitement de l'eau est nécessaire à l'issue du contrôle de la salinité (prise d'initiative attendue).

1.33. Traitement des poissons contre les vers (synthèse du praziquantel)

L'étape 2 de la synthèse transforme les réactifs A (C₉H₉N), B, C et D (C₄H₁₁O₂N) en produit E (C₂₁H₃₂O₄N₂, M(E) = 376,5 g·mol⁻¹) et produit F.

Structures (figure 2)

A : phényléthyl isocyanure C₆H₅–CH₂–CH₂–N≡C (C₉H₉N).
B : formule développée H–C(=O)–H (notée CH₂O).
C : cycle à 6 carbones (cyclohexane) portant un groupe –COOH.
D : H₂N–CH₂–CH(O–CH₃)₂ (C₄H₁₁O₂N).

Q3.1.1

APP

T1.9

La formule développée de B est H–C(=O)–H. Justifier que B se nomme méthanal en nomenclature officielle.

Q3.1.2

ANAREA

T1.9

Donner la formule semi-développée puis la formule brute du réactif C.

Q3.1.3

REAANA

T1.9

Déterminer le produit F formé à l'issue de l'étape 2 en s'appuyant sur les formules brutes des espèces mises en jeu.

Q3.1.4

REAVAL

T1.9

La synthèse de 40,9 g de E nécessite 0,110 mol de chacun des réactifs A, B, C et D. Déterminer le rendement de l'étape 2.

Q3.2.1

APP

T1.9

L'étape 3 (avec l'acide méthylsulfonique AMS) comporte plusieurs opérations. Associer à chacune des opérations a et c un ou plusieurs des mots : dissolution, séparation, purification, transformation chimique.

a. E est ajouté à l'AMS, chauffé 6 h à 70 °C, puis versé dans l'eau glacée à pH 8.
c. La phase organique est lavée par une solution salée saturée, séchée, puis l'éther est évaporé (solide jaune).

Q3.2.2

APP

T1.2

Nommer une méthode d'identification possible pour le solide obtenu.

1.44. Prévention des infections (adsorption sur charbon actif)

Un aquariophile traite de manière préventive son aquarium contre les infections. Pour cela, il utilise une solution aqueuse antiseptique de bleu de méthylène. Le bleu de méthylène (C₁₆H₁₈CℓN₃S) est un colorant faiblement biodégradable, de couleur bleue foncée. L'excès de bleu de méthylène est éliminé par des « filtres » à charbon actif.

Le charbon actif est une poudre noire dont les pores, observables au microscope électronique, permettent notamment de fixer et retenir des molécules organiques. C'est le phénomène d'adsorption.

Vue au microscope électronique des pores d'un grain de charbon actif : une structure en nid d'abeilles, percée de cavités arrondies de tailles variées.

La capacité d'adsorption du charbon actif peut être évaluée à l'aide d'un dosage par étalonnage en suivant le protocole expérimental suivant :

tracer la courbe d'étalonnage de l'absorbance, à λ = 650 nm, pour des solutions étalon de bleu de méthylène ;
mesurer l'absorbance d'un échantillon d'eau polluée en bleu de méthylène ;
prélever un volume V de 50,0 mL d'eau polluée et y ajouter 100,0 mg de charbon actif ;
agiter le mélange puis filtrer ;
mesurer l'absorbance de la solution filtrée après traitement au charbon actif.

Figure 3 : absorbance en fonction de la concentration en bleu de méthylène, à λ = 650 nm. En ordonnée, l'absorbance de 0 à 1,8 ; en abscisse, la concentration en mg·L⁻¹ de 0 à 18. Neuf points de mesure, marqués par des losanges noirs, sont régulièrement alignés depuis l'origine sur un quadrillage en pointillés.

Les valeurs d'absorbance obtenues avant et après traitement de l'eau de l'aquarium pour éliminer l'excès de bleu de méthylène sont A_polluée = 1,5 et A_traitée = 0,2.

Q4.1

APPCOM

T1.2

Justifier l'intérêt de l'étape de filtration.

Q4.2

REAVAL

T1.2

Montrer que la masse m_a de colorant adsorbée par gramme de charbon actif est voisine de 7 mg.

Q4.3

REAVALCOM

T1.2

Un traitement préventif de l'aquarium (V = 8 000 L) nécessite 1 à 2 mg de bleu de méthylène par litre. Calculer la masse de charbon actif nécessaire pour éliminer ensuite ce colorant. Commenter.

Exercice 25 pts≈ 50 min

Au choix A, Un saut stratosphérique

T2.3·Mouvement dans un champ uniforme T2.4·Mouvement dans un champ de gravitation T2.2·Deuxième loi de Newton

#Félix Baumgartner#chute libre#champ de pesanteur#champ uniforme#équation horaire#vitesse du son#force de frottement#vitesse limite

Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner devient le premier homme à atteindre une vitesse égale à celle du son en s'élançant d'une capsule située dans la zone supérieure de la stratosphère.

L'objectif de cet exercice est de comprendre pourquoi il réalise un saut depuis la zone supérieure de la stratosphère pour atteindre la vitesse du son dans l'atmosphère.

Photographie de Félix Baumgartner en combinaison pressurisée, debout sur la plateforme de sa capsule ouverte, la Terre et la courbure de l'atmosphère visibles en contrebas. — D'après redbull.com

Données

masse de Félix Baumgartner et de son équipement : m = 120 kg ;
altitudes limites de la stratosphère : z_min = 11 km, z_max = 50 km ;
altitude de la capsule au moment du saut : z_départ = 38 969 m ;
intensité du champ de pesanteur à la surface de la Terre supposée sphérique de rayon R_T : g₀ = 9,81 m·s⁻² ;
rayon de la Terre : R_T = 6 370 km ;
expression du champ de pesanteur terrestre en fonction de l'altitude : $g(z) = \dfrac{g_0\,R_T^{\,2}}{(R_T + z)^2}$ ;
pour la suite du sujet : g = 9,66 m·s⁻² ;
norme f en N de la force de frottements due à l'air : $f = 0{,}4 \times \rho_{\text{air}}(z) \times v^2$ , avec ρ_air(z) en kg·m⁻³ et v en m·s⁻¹.

Figure 1 : vitesse du son en fonction de l'altitude. En ordonnée, v son en m·s⁻¹ de 290 à 350 ; en abscisse, l'altitude z en mètres de 0 à 50 000. Les points de mesure, marqués par des croix, décroissent d'abord, passent par un minimum aux altitudes intermédiaires, puis remontent.

Figure 2 : masse volumique de l'air dans la stratosphère, entre 15 et 50 km, en fonction de l'altitude. En ordonnée, ρ air en kg·m⁻³ de 0,000 à 0,250 ; en abscisse, l'altitude z en mètres de 15 000 à 50 000. La courbe décroît rapidement puis s'aplatit et tend vers zéro.

2.11. Influence de l'altitude sur le champ de pesanteur

Q1.1

REA

T2.4

Calculer la différence $\Delta g = \lvert\, g(z_{\text{max}}) - g(z_{\text{min}}) \,\rvert$ entre les valeurs du champ de pesanteur aux limites de la stratosphère.

Q1.2

VAL

T2.4

Le champ est considéré uniforme si sa variation par rapport à sa valeur à z_max est inférieure à 2 %. Le champ de pesanteur peut-il être considéré comme uniforme dans la stratosphère ?

2.22. Chute libre et vitesse du son

Le mouvement est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen, axe (Oz) vertical orienté vers le haut, origine au sol. À t = 0, Félix Baumgartner s'élance sans vitesse initiale (mouvement vertical). On prend g = 9,66 m·s⁻².

REAAPP

T2.3

Établir, dans le cadre du modèle de la chute libre, l'équation horaire $z(t)$ en fonction de t, g et z_départ.

REA

T2.3

En déduire l'altitude à laquelle la vitesse de Félix Baumgartner est égale à 307 m·s⁻¹.

VALANA

T2.3

Indiquer, dans le cadre de ce modèle et en justifiant, si Félix Baumgartner a dépassé la vitesse du son lorsqu'il atteint cette altitude.

2.33. Prise en compte des frottements de l'air

En réalité, Félix Baumgartner atteint la vitesse du son à l'altitude z_son = 33 446 m. La vitesse limite est atteinte lorsque la norme de la force de frottement devient égale à celle du poids.

REAVAL

T2.2

Comparer la norme de la force de frottement et celle du poids lorsque v = 307 m·s⁻¹ à l'altitude 33 446 m. Critiquer le modèle de chute libre utilisé précédemment.

REAANA

T2.2

On suppose la vitesse limite atteinte après 4 000 m de chute. Calculer la valeur de la vitesse limite v_lim s'il s'était élancé d'une altitude z = 20 000 m.

ANACOM

T2.3

Expliquer qualitativement pourquoi il est nécessaire de s'élancer depuis la zone supérieure de la stratosphère pour atteindre une vitesse égale à celle du son.

Exercice 35 pts≈ 50 min

Au choix B, Un système de détection de passager

T4.4·Étudier la dynamique d'un dipôle RC

#modèle du circuit RC série#condensateur#capacité électrique#charge électrique#équation différentielle#constante de temps#décharge#capteur capacitif

Pour renforcer la sécurité routière, les voitures sont équipées d'un système de détection de la présence d'un passager pour lui signaler si sa ceinture de sécurité est bien attachée.

Dans le cadre d'un projet scientifique, un groupe d'élèves réalise un système de détection semblable à celui d'une voiture. Il est composé d'un capteur de pression capacitif « artisanal » associé à un microcontrôleur.

Le condensateur « artisanal » est constitué de deux feuilles d'aluminium séparées par une feuille de papier isolante. Lorsqu'un objet de masse m est posé dessus, il exerce une pression sur les deux feuilles d'aluminium et les déforme, ce qui modifie la capacité électrique du condensateur « artisanal ». Après un traitement numérique des signaux électriques, le microcontrôleur peut détecter la présence de l'objet.

Figure 1 : dessin au trait d'un siège de voiture vu de trois quarts, sur l'assise duquel est posée une plaque sombre légendée « capteur de pression capacitif ».

Figure 2 : photographie du capteur posé sur une table en bois : une feuille de papier blanche recouvrant une feuille d'aluminium froissée, d'où sortent deux fils électriques. Les légendes « Feuille de papier », « Feuille d'aluminium » et « Fils » désignent chaque élément.

L'objectif de cet exercice est d'illustrer le principe de fonctionnement d'un tel capteur.

3.11. Étude du capteur de pression capacitif « artisanal »

Le capteur de pression capacitif « artisanal » est représenté en coupe à la figure 3.

Figure 3 : schéma de la vue en coupe du capteur. Trois bandes horizontales empilées : la feuille d'aluminium A en haut, la feuille de papier isolante au milieu, la feuille d'aluminium B en bas. Une double flèche verticale notée e indique l'épaisseur de la feuille isolante. Les deux feuilles d'aluminium sont reliées à deux bornes A et B ; la tension U(AB) est repérée par une flèche et la mention U(AB) > 0.

1.1

APP

T4.4

Justifier l'utilisation de l'adjectif « capacitif » dans l'expression « capteur de pression capacitif » couramment utilisée pour désigner ce genre de capteurs.

1.2

APP

T4.4

Si le capteur est soumis à une tension positive constante U_AB entre ses bornes A et B, des charges électriques apparaissent sur chacune des feuilles, notées Q_A sur la feuille d'aluminium A et Q_B sur la feuille d'aluminium B. On note C la capacité électrique de ce capteur. Donner l'expression littérale de la charge Q_A puis celle de la charge Q_B en fonction de C et U_AB.

1.3

ANAVAL

T4.4

La capacité électrique C d'un tel capteur s'écrit

C = \dfrac{\varepsilon \times S}{e}

avec S la surface en regard des feuilles d'aluminium, e l'épaisseur de la feuille de papier isolante et ε une constante caractéristique de la feuille de papier isolante. Indiquer, en justifiant la réponse, le sens de variation de la capacité électrique C du capteur quand un objet est posé sur le condensateur « artisanal ».

3.22. Modélisation du circuit de la chaîne de mesure

La détection de la variation de la capacité électrique C du capteur est réalisée par un circuit électrique appelé la chaîne de mesure. Le circuit électrique associé peut se modéliser par le circuit schématisé ci-après :

Figure 4 : schéma du circuit électrique. Un générateur idéal de tension E alimente le circuit. Un commutateur, dont les deux positions sont numérotées 1 et 2, oriente le courant soit vers le générateur, soit vers la branche contenant un conducteur ohmique de résistance R, aux bornes duquel la tension u R est fléchée. Cette branche se referme sur un condensateur de capacité C, dont les bornes A et B sont repérées et aux bornes duquel la tension u C est fléchée.

Le générateur de ce circuit est un générateur idéal de tension E. Le condensateur modélise le capteur de pression capacitif « artisanal » installé dans l'assise du siège du véhicule. La mesure de la tension aux bornes du condensateur, notée u_C(t), est réalisée en permanence par un microcontrôleur qui n'est pas représenté sur le schéma. La résistance R est celle d'un conducteur ohmique. Le capteur de pression capacitif « artisanal » possède une capacité électrique C variable, selon que le capteur est soumis ou non à une pression extérieure. Le commutateur possède deux positions notées 1 et 2 et joue le rôle d'un interrupteur fermé sur la position 1 ou sur la position 2.

On considère que l'interrupteur est dans la position 1 depuis un temps très long, et que les paramètres E, C et R sont constants. À la date t = 0 s, u_C(0) = E et l'interrupteur est basculé dans la position 2.

2.1

ANAREA

T4.4

Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension u_C(t) aux bornes du condensateur pour t ≥ 0 et l'écrire sous la forme :

\dfrac{\text{d}u_C(t)}{\text{d}t} + \dfrac{u_C(t)}{\tau} = 0

Exprimer τ en fonction de R et C.

2.2

REAVAL

T4.4

Vérifier que

u_C(t) = A \times e^{-\frac{t}{\tau}}

est solution de l'équation différentielle et exprimer A en fonction de E.

2.3

ANAREA

T4.4

Montrer que le condensateur est déchargé à la date t = 5 τ. On considère que le condensateur est déchargé lorsque la tension u_C(t) devient égale à 1 % de sa valeur initiale.

3.33. Test expérimental de la chaîne de mesure

Pour tester cette chaîne de mesure qui permet de détecter la présence d'une pression exercée sur le capteur, on réalise le circuit étudié précédemment. La commutation est réalisée automatiquement par le microcontrôleur. On réalise l'expérience suivante :

Figures 5 et 6 : deux photographies du dispositif posé sur une table. Sur la première, le capteur capacitif, relié par des fils à une plaque d'essai et à un microcontrôleur, est libre. Sur la seconde, un verre rempli d'eau est posé sur le capteur. — Figure 5 : dispositif sans pression. Figure 6 : dispositif avec pression.

Un premier essai est conduit sans qu'aucune pression ne soit exercée sur le capteur (figure 5). Le microcontrôleur mesure la tension u_C(t) au cours du temps aux bornes du capteur capacitif. Un second essai est réalisé au cours duquel une masse (ici un verre rempli d'eau) est posée sur le capteur (figure 6). De nouveau, on mesure la tension u_C(t) au cours du temps aux bornes du capteur capacitif.

Données

tension du générateur idéal : E = 5 V ;
résistance du conducteur ohmique : R = 10 MΩ ;
épaisseur de la feuille de papier isolante sans pression : e = 1,0×10⁻⁴ m.

Les séries de mesures, obtenues lors de ces deux essais, sont présentées sur le même graphique ci-dessous (figure 7). La date t = 0 s correspond au passage du commutateur de la position 1 à 2 (figure 4).

Figure 7 : évolution de u C mesurée en fonction du temps lors des deux essais. En ordonnée, u C en volts de 0 à 6 ; en abscisse, le temps t en millisecondes de 0 à 700. Deux séries de points décroissent depuis environ 5 V vers zéro : l'une est marquée par des carrés noirs, l'autre par des triangles. La série marquée par des triangles décroît plus lentement que l'autre.

3.1

ANAVAL

T4.4

Parmi les deux séries de mesures précédentes, représentées soit par ▲ soit par ■, associer celle qui correspond au dispositif sans pression et celle qui correspond au dispositif avec pression. Justifier.

3.2

ANAREAVAL

T4.4

On considère que la variation de capacité électrique ΔC est liée à la variation d'épaisseur Δe par la relation :

\dfrac{\Delta C}{C} = \dfrac{\Delta e}{e}

Déterminer la valeur de la variation d'épaisseur Δe, après avoir évalué la variation de capacité électrique ΔC.

Exercice 45 pts≈ 50 min

Au choix C, Quelle taille pour les mailles d'un tamis ?

T4.1·Caractériser les phénomènes ondulatoires

#diffraction#interférences#tache centrale#longueur d'onde#interfrange#incertitude-type#propagation des incertitudes#tamis

Les artémies (voir photo ci-contre) sont des crustacés élevés pour nourrir les poissons des aquariums. Leur taille doit être adaptée à l'espèce de poisson à nourrir. On utilise des tamis calibrés pour les sélectionner.

On se propose dans cet exercice de déterminer la taille des mailles d'un tamis en utilisant une diode laser de longueur d'onde $\lambda = (650 \pm 10)$ nm.

Photographie d'une artémie sur fond noir : un petit crustacé allongé, orangé, muni de nombreux appendices latéraux et de deux gros yeux à l'avant. — Source : fr.m.wikipedia.org

Données

partie 1, diffraction par une fente : largeur de fente a = 80 µm ; distance fente–écran D = 56 cm ;
partie 2, interférences par le maillage : largeur du fil plastique constituant le tamis = 230 µm ; D = (7,75 ± 0,03) m ; λ = (650 ± 10) nm.

4.11. Vérification de la longueur d'onde de la diode laser

Pour vérifier la valeur de la longueur d'onde de la diode laser annoncée par le constructeur, on réalise une expérience dont le schéma est donné ci-dessous (figure 1).

Figure 1 : schéma de l'expérience. Un laser envoie un faisceau sur une fente verticale de largeur a ; à la distance D se trouve un écran. L'axe x est vertical sur l'écran. L'angle θ entre l'axe optique et la direction de la première extinction est repéré, ainsi que la demi-largeur L/2 de la tache centrale. Deux mentions donnent D = 56 cm et a = 80 µm.

Figure 2 : photographie de la figure observée sur l'écran : une tache centrale rouge très lumineuse et allongée, encadrée de part et d'autre par des taches secondaires plus petites et moins intenses, alignées selon l'axe x. Une flèche désigne la première tache sombre.

Q1.1

APPANA

T4.1

Nommer le phénomène physique responsable des taches lumineuses. Discuter qualitativement de l'influence de la largeur de la fente et de la longueur d'onde sur le phénomène.

Q1.2

REAANA

T4.1

On rappelle $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ et $\tan\theta \approx \theta$ (petits angles). Déterminer l'expression de θ en fonction de la largeur L de la tache centrale et de D. En déduire l'expression de λ en fonction de L, a et D.

Q1.3

REAVAL

T4.1

Pour faire une mesure précise, on remplace l'écran par une caméra qui permet d'obtenir l'intensité lumineuse relative en fonction de la position x, repérée selon l'axe indiqué sur la photo de la figure 2. L'origine x = 0 m est prise sur le bord du capteur de la caméra. On obtient alors la figure 3.

L'intensité lumineuse relative est le rapport de l'intensité lumineuse reçue par le capteur sur l'intensité maximale reçue.

Figure 3 : intensité lumineuse relative en fonction de la position sur l'écran. En ordonnée, l'intensité relative de 0 à 1 ; en abscisse, la position x en millimètres de 0 à environ 28. La courbe présente un pic large et intense au centre, encadré par deux zones où l'intensité s'annule, puis des maxima secondaires de faible amplitude de part et d'autre.

Déterminer la valeur de la longueur d'onde de la diode laser utilisée en exploitant la courbe obtenue sur la figure 3. La comparer à la valeur indiquée par le constructeur.

4.22. Calibrage du tamis de récupération

Le but de cette partie est de vérifier que le tamis disponible, dont le maillage est représenté sur la figure 5, permet de récupérer toutes les artémies d'une taille supérieure à 150 µm. On réalise une expérience d'interférences pour évaluer les dimensions du tamis en utilisant la diode laser précédente. La largeur du fil plastique constituant le tamis est égale à 230 µm.

L'expérience d'interférences est décrite ci-dessous :

le montage utilisé est donné sur la figure 4 ;
on utilise la diode laser de longueur d'onde λ = (650 ± 10) nm. La distance entre le tamis et l'écran vaut D = (7,75 ± 0,03) m ;
on note b la distance entre les centres de deux trous consécutifs du maillage du tamis ;
la figure d'interférences obtenue est donnée sur les figures 6 et 7.

Figure 4 : montage utilisé, échelle non respectée. Un laser envoie son faisceau sur un tamis à maille carrée de côté b ; à la distance D = 7,75 m, un écran incliné porte la figure obtenue, en forme de croix lumineuse rouge.

Figure 5 : schéma du maillage du tamis : une grille régulière de fils croisés délimitant des trous carrés. Deux doubles flèches cotées b indiquent la distance entre les centres de deux trous consécutifs, horizontalement et verticalement.

Figure 6 : photographie de la figure d'interférences obtenue : un réseau régulier de taches lumineuses rouges disposées en quadrillage, les plus brillantes au centre, traversé par deux traînées diagonales.

Figure 7 : agrandissement à l'échelle 1/1 de la tache centrale de la figure d'interférences : des taches lumineuses blanches, rondes, régulièrement espacées sur fond noir. Une flèche horizontale traverse la rangée centrale et matérialise l'axe le long duquel se mesure l'interfrange.

Le centre de la figure d'interférences de la figure 6 est représenté sur la figure 7 ci-dessus à l'échelle 1/1. L'interfrange, noté i, est défini comme la distance entre les centres de deux taches lumineuses successives selon l'axe identifié sur la figure 7. Son expression est donnée par la relation $i = \dfrac{\lambda\,D}{b}$ .

Q2.1

APPCOM

T4.1

Expliquer brièvement, sans calcul, l'origine de la présence de zones sombres et de zones brillantes dans une figure d'interférences lumineuses.

Q2.2

REAANA

T4.1

Évaluer la valeur de l'interfrange i en explicitant la méthode donnant la meilleure précision. Évaluer l'incertitude-type u(i).

Q2.3

REAVAL

T4.1

Calculer b puis évaluer l'incertitude-type u(b), avec $\dfrac{u(b)}{b} = \sqrt{\left(\dfrac{u(D)}{D}\right)^2 + \left(\dfrac{u(i)}{i}\right)^2 + \left(\dfrac{u(\lambda)}{\lambda}\right)^2}$ .

Q2.4

VALCOM

T4.1

Indiquer si le tamis étudié permet de récupérer les artémies voulues (taille > 150 µm). Justifier.

Méthodologie · Bac

Chaque corrigé suit une méthodologie de rédaction rigoureuse, avec formule littérale annoncée, étapes de calcul détaillées, analyse dimensionnelle et phrase de conclusion explicite. Compétences APP / ANA / REA / VAL / COM affichées par question pour cibler les attendus officiels de la grille d'évaluation Bac.