Bac 2021Métropole · J1 remplacementCorrigé complet

Synthèse d'un arôme · Puissance rayonnée par la Lune (au choix) · Au plus près du Soleil et de sa couronne (au choix) · Cesta punta (au choix)

Durée : 3 h 3020 points4 exercices

Chapitres BO travaillés

T1.9·Élaborer des stratégies en synthèse organique T1.4·Suivre et modéliser l'évolution temporelle (cinétique)T1.2·Analyser un système par des méthodes physiques T1.3·Analyser un système par des méthodes chimiques (titrages)T1.6·Sens d'évolution spontanée (équilibre, pile)T4.3·Effet photoélectrique T3.2·Premier principe / bilans thermiques T2.4·Mouvement dans un champ de gravitation T2.3·Mouvement dans un champ uniforme T2.2·Deuxième loi de Newton

PDF du sujet officiel

Session 2021, épreuve de remplacement Métropole J1 : le candidat traite l'exercice 1 puis choisit 2 exercices parmi les 3 proposés. Exo commun : synthèse d'un arôme, l'éthanoate de 3-méthylbutyle (nomenclature, spectres infrarouge, facteurs cinétiques, rendement déterminé par titrage et dispositif de Dean-Stark). Choix : puissance rayonnée par la Lune (lunette afocale et bilan thermique d'un capteur, avec schéma d'annexe à compléter), au plus près du Soleil et de sa couronne (énergie d'un photon, lois de Kepler et sonde Parker Solar Probe), ou cesta punta (chute libre et bilan énergétique d'un service de pelote basque). Les exercices B et C, les plus centraux du programme, sont intégralement corrigés ci-dessous.

Exercice 110 pts≈ 1 h 45

Synthèse d'un arôme

#ester#estérification#nomenclature#famille fonctionnelle#spectroscopie infrarouge#facteurs cinétiques#catalyseur#temps de demi-réaction#mélange stœchiométrique#rendement#titrage pH-métrique#Dean-Stark#déplacement d'équilibre

L'éthanoate de 3-méthylbutyle est une espèce chimique odorante présente notamment dans les pommes mûres. Son odeur agréable et sa faible toxicité permettent de l'utiliser comme arôme dans les bonbons. Cette espèce chimique appartient à la famille fonctionnelle des esters. Objectif : étudier les espèces chimiques intervenant dans la synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle, puis les conditions d'optimisation de cette synthèse.

Données physico-chimiques à 25 °C

Espèce	Formule brute	Masse volumique (g·mL⁻¹)	Masse molaire (g·mol⁻¹)	Solubilité dans l'eau
3-méthylbutan-1-ol	C₅H₁₂O	0,81	88,1	peu soluble
Acide éthanoïque	C₂H₄O₂	1,05	60,0	très soluble
Éthanoate de 3-méthylbutyle	C₇H₁₄O₂	0,87	130,2	très peu soluble
Eau	H₂O	1,00	18,0	–
Cyclohexane	–	0,78	84,2	très peu soluble

Quelques bandes d'absorption infrarouge

Liaison	C=C	C=O	C–H	O–H d'un acide carboxylique	O–H d'un alcool
Nombre d'onde (cm⁻¹)	1 550 à 1 650	1 650 à 1 800	2 800 à 3 100	2 500 à 3 200	3 200 à 3 500

Règles de nomenclature

Squelettes carbonés : la position d'une ramification sur la chaîne principale est indiquée par un chiffre et le groupe par un préfixe (méthyl –CH₃, éthyl –C₂H₅, propyl, butyl…).
Esters R–CO–O–R' : nommés « alcanoate d'alkyle » (suffixe « -oate »). Exemple : l'éthanoate de méthyle CH₃–CO–O–CH₃ ; la chaîne alkyle liée à l'oxygène est numérotée à partir du carbone lié à O (carbone 1').

1.11, Des réactifs aux produits de la synthèse

Pour réaliser la synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle au laboratoire, on utilise les deux réactifs suivants : l'acide éthanoïque et le 3-méthylbutan-1-ol. La représentation semi-développée du 3-méthylbutan-1-ol est : HO–CH₂–CH₂–CH(CH₃)–CH₃.

1.1

APP

T1.9

Justifier le nom du 3-méthylbutan-1-ol.

1.2

APPREA

T1.9

Donner la représentation topologique du 3-méthylbutan-1-ol et entourer le groupe caractéristique de la molécule. Nommer la famille fonctionnelle correspondante.

1.3

ANAVAL

T1.2

On donne (figure 1) les spectres infrarouges des deux réactifs. Identifier, en justifiant, le spectre correspondant au 3-méthylbutan-1-ol.

Description de la figure 1, spectre A : bande large et intense centrée vers 3 300 cm⁻¹ (s'étendant d'environ 3 200 à 3 500 cm⁻¹), bandes fines vers 2 900–3 000 cm⁻¹, aucune bande intense entre 1 650 et 1 800 cm⁻¹. Spectre B : bande très large s'étendant d'environ 2 500 à 3 300 cm⁻¹ (chevauchant les bandes C–H) et bande fine très intense vers 1 700 cm⁻¹.

1.4

APPREA

T1.9

Représenter la formule semi-développée de l'éthanoate de 3-méthylbutyle en exploitant les règles de nomenclature fournies.

1.22, Optimisation de la synthèse au laboratoire

La synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle est une transformation lente et non totale. Protocole : verser dans un ballon un volume V₁ de 3-méthylbutan-1-ol, une masse m₂ d'acide éthanoïque et un volume V₃ d'acide sulfurique concentré. Le ballon, surmonté d'un réfrigérant à air, est placé dans un bain-marie maintenant la température constante (figure 2 du sujet). Quatre expériences sont réalisées :

	Exp. 1	Exp. 2	Exp. 3	Exp. 4
Température (°C)	30	30	60	60
Volume initial V₁ de 3-méthylbutan-1-ol (mL)	12,0	12,0	12,0	36,0
Masse initiale m₂ d'acide éthanoïque (g)	6,62	6,62	6,62	6,62
Volume V₃ d'acide sulfurique (mL)	0	0,5	0,5	0,5
Ordre de grandeur du temps de demi-réaction	plusieurs mois	plusieurs heures	une dizaine de minutes	inférieur à une dizaine de minutes

2.1

APPREA

T1.9

Écrire, à l'aide des formules brutes, l'équation de la réaction modélisant la synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle, sachant qu'une autre espèce chimique à identifier est aussi produite. Justifier.

2.2

ANAVAL

T1.4

En exploitant les résultats expérimentaux, indiquer les conditions expérimentales permettant d'optimiser la cinétique de cette synthèse.

2.3.1

REA

T1.9

Détermination expérimentale du rendement de la synthèse de l'expérience 3. Déterminer les quantités de matière des réactifs dans le mélange initial de l'expérience 3 et donner un qualificatif à ce mélange initial.

2.3.2

REAVAL

T1.9

La masse d'éthanoate de 3-méthylbutyle obtenue en fin de réaction est de m₃ = 6,20 g. Déterminer le rendement de la synthèse dans l'expérience 3. Commenter.

2.4.1

APP

T1.3

Détermination expérimentale du rendement de la synthèse de l'expérience 4. À la fin de la synthèse, on sépare la phase aqueuse de la phase organique formée dans le ballon. Cette phase aqueuse contient l'acide éthanoïque qui n'a pas réagi et l'acide sulfurique : ces deux acides sont responsables de l'acidité totale de la solution. On réalise un titrage acido-basique de cette phase aqueuse, avec comme solution titrante une solution aqueuse d'hydroxyde de potassium (K⁺(aq) ; HO⁻(aq)) de concentration C_B = 1,0 mol·L⁻¹, suivi par pH-métrie (courbes pH = f(V_B) et dpH/dV_B = f(V_B), figure 3).

Écrire l'équation de la réaction support du titrage entre l'acide éthanoïque et l'ion hydroxyde.

2.4.2

ANA

T1.3

Déterminer le volume d'hydroxyde de potassium nécessaire pour titrer l'acide éthanoïque.

Figure 3 : courbes expérimentales obtenues lors du titrage de la phase aqueuse issue de l'expérience 4. En ordonnée de gauche, le pH de 0 à 14 ; en ordonnée de droite, la dérivée dpH/dV_B en mL⁻¹ de 0 à 6 ; en abscisse, le volume V_B de solution titrante en millilitres de 0 à 16. Deux tracés sont superposés : la courbe pH = f(V_B) et la courbe dérivée. Deux flèches annotées désignent, l'une « dosage de l'acidité due à l'acide sulfurique seul », l'autre « dosage de l'acidité totale ».

2.4.3

REA

T1.3

En déduire la quantité de matière d'acide éthanoïque restant à la fin de la synthèse dans l'expérience 4.

2.4.4

REAVAL

T1.9T1.3

Déterminer la quantité de matière d'ester formé et calculer le rendement de la synthèse dans l'expérience 4. En déduire un moyen d'optimiser le rendement de cette synthèse.

1.33, Amélioration du rendement grâce au tube décanteur de Dean-Stark

On réalise de nouveau l'expérience 3, mais avec un dispositif de Dean-Stark (figure 4 du sujet) qui permet de séparer en continu l'eau formée du reste du milieu réactionnel. Le tube décanteur est initialement vide ; un volume de 30 mL de cyclohexane est ajouté au milieu réactionnel, puis on chauffe à reflux. Seuls l'eau et le cyclohexane se vaporisent ; ils se liquéfient dans le réfrigérant à eau et tombent dans le tube décanteur, où deux phases se superposent : la phase A au-dessus, la phase B en dessous. Lorsque le tube décanteur est plein, l'excès de phase A s'écoule dans le mélange réactionnel.

3.1

ANA

T1.9

Identifier la nature des phases A et B présentes dans le tube décanteur. Justifier.

3.2

ANACOM

T1.6T1.9

Indiquer l'intérêt de ce dispositif pour optimiser cette synthèse.

3.3

REAVAL

T1.9

Lorsque la transformation est terminée, le volume d'eau recueilli dans le tube décanteur est de V = 1,8 mL. En déduire la quantité de matière d'ester formé. Conclure quant à l'efficacité de ce dispositif.

Exercice 25 pts≈ 50 min

Au choix A, Puissance rayonnée par la Lune

T4.3·Effet photoélectrique T3.2·Premier principe / bilans thermiques

#lunette astronomique#lunette afocale#objectif#oculaire#distance focale#évolution de la température#capacité thermique#résistance thermique#équation différentielle#puissance surfacique

En 1939, les physiciens Pettit et Nicholson ont étudié la température de surface de la Lune à partir de la mesure de la puissance émise par la Lune lors de l'éclipse lunaire du 28 octobre 1939. Cet exercice décrit une expérience menée au laboratoire pour déterminer la puissance lumineuse surfacique au niveau de la surface de la Terre lors d'une pleine Lune.

On s'intéresse d'abord à un dispositif de détection qui permet de capter la lumière issue de la Lune, puis on étudie un capteur thermique afin de déterminer la puissance lumineuse surfacique rayonnée lors d'une pleine Lune sur le sol terrestre.

2.11. Dispositif optique de détection

Pour déterminer la puissance émise par la Lune, Edison Pettit a placé un capteur de température au foyer du télescope du Mont Wilson. On reproduit l'expérience de Pettit au laboratoire en utilisant une lunette afocale. La lumière diffusée par la Lune est ainsi concentrée sur un capteur de température fixé au foyer image de l'objectif de la lunette.

Données

objectif modélisé par une lentille convergente de distance focale f₁′ = 101 cm ;
oculaire modélisé par une lentille convergente de distance focale f₂′ ;
capteur de température : petit carré noir de 0,8 mm de côté.

1.1

APP

T4.3

Énoncer la condition sur les positions du foyer image de l'objectif et du foyer objet de l'oculaire pour que la lunette soit afocale.

1.2

APPCOM

T4.3

Préciser sur le schéma de la lunette afocale, en annexe, la position du capteur de température.

Schéma de la lunette afocale, à compléter. Un axe optique horizontal porte deux lentilles convergentes représentées par des doubles flèches verticales : l'objectif, de centre O₁, à gauche, et l'oculaire, de centre O₂, à droite. Le foyer objet F₁ de l'objectif est repéré sur l'axe, à gauche de O₁. Deux rayons parallèles arrivent de la gauche en faisant un angle α avec l'axe optique, matérialisé par un trait en pointillés. — Schéma de la lunette afocale (annexe à rendre avec la copie).

1.3

APPCOM

T4.3

Représenter sur ce même schéma, en annexe, le faisceau émergent issu d'une région d'un astre lointain incliné d'un angle α par rapport à l'axe optique et traversant la lunette afocale.

1.4

ANAREAVAL

T4.3

La « Mer » de la Tranquillité est une vaste plaine circulaire facilement repérable sur la Lune. L'axe de la lunette est pointé sur le centre de la « Mer » de la Tranquillité. L'angle sous lequel on voit cette région à l'œil nu depuis la Terre est 2α = 2,3×10⁻³ rad. Pour optimiser la mesure, le capteur de température doit être au moins éclairé par l'image de la zone étudiée. Déterminer si la taille de l'image intermédiaire permet une mesure optimale.

2.22. Étude du capteur de température exposé au rayonnement du Soleil

On étudie maintenant un capteur de température de type « thermocouple » de capacité thermique C. La température indiquée par ce capteur peut être reliée à la puissance rayonnée qu'il reçoit.

Pour déterminer la résistance thermique R_th liée au transfert thermique entre le milieu extérieur et le capteur, on étudie le comportement au cours du temps du capteur exposé directement au rayonnement solaire (sans utiliser la lunette étudiée précédemment). La température du milieu extérieur dans lequel se trouve le capteur est supposée constante et notée T₀ pendant toute la durée de l'expérience.

L'étude est conduite entre t et t + Δt, Δt étant supposé petit devant la durée typique de l'évolution de la température du thermocouple.
À l'état initial t = 0 s, le capteur est dans l'obscurité et à l'équilibre thermique : sa température est égale à T₀.
À t > 0 s, on expose le capteur à la lumière du Soleil, ce qui fait augmenter sa température T. On note P_lum la puissance lumineuse reçue par le capteur, elle est supposée constante.

Il se produit alors un transfert thermique du capteur, de température T, vers le milieu extérieur, de température T₀. Dans la suite de l'exercice, le capteur est choisi comme système.

2.1

APP

T3.2

La puissance thermique échangée avec le milieu extérieur par le système a pour expression :

P_{th} = \dfrac{T_0 - T}{R_{th}}

Commenter le signe de cette puissance.

2.3

APP

T3.2

Exprimer la variation d'énergie interne du capteur ΔU en fonction de sa capacité thermique et de la variation ΔT de sa température au cours du temps Δt.

2.4

APPANA

T3.2

Relier la variation d'énergie interne ΔU du capteur à la puissance thermique P_th et à la puissance lumineuse reçue P_lum pendant une durée Δt.

2.5

ANAREA

T3.2

En déduire, pour des durées Δt tendant vers 0, que la température T(t) du capteur vérifie l'équation différentielle suivante :

\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t} + \dfrac{T(t)}{R_{th}\,C} = \dfrac{T_0}{R_{th}\,C} + \dfrac{P_{lum}}{C}

2.6

ANAVAL

T3.2

Lorsque la température finale est atteinte par le capteur au bout d'une durée suffisamment longue, l'expression de la puissance lumineuse est :

P_{lum} = \dfrac{T - T_0}{R_{th}}

avec T la température finale atteinte par le capteur. Retrouver cette expression à partir de l'équation différentielle de la question 2.5.

2.33. Mesure de la puissance surfacique au niveau du sol terrestre lors d'une pleine Lune

Pour déterminer la puissance surfacique φ_lune au niveau du sol terrestre lors d'une pleine Lune, on place ce capteur au foyer image de l'objectif d'une lunette. La puissance P_lum reçue par le capteur est amplifiée d'un facteur 500 par la lunette utilisée. On relève la température du capteur au cours du temps : elle se stabilise au bout de 250 s et on mesure alors T − T₀ = 4,2×10⁻² K.

Données

résistance thermique déterminée expérimentalement : R_th = 3×10⁴ K·W⁻¹ ;
surface exposée du capteur : S = 5,0×10⁻⁷ m² ;
puissance surfacique moyenne au niveau du sol terrestre lors d'une pleine Lune : φ_lune = 5 mW·m⁻².

ANAREAVAL

T3.2T4.3

Sachant que la surface exposée du capteur utilisé lors de l'expérience est S = 5,0×10⁻⁷ m², évaluer la puissance surfacique φ_lune au niveau du sol terrestre. Comparer ensuite la valeur expérimentale à la puissance surfacique moyenne obtenue au niveau du sol terrestre lors d'une pleine Lune : φ_lune = 5 mW·m⁻².

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Exercice 35 pts≈ 50 min

Au choix B, Au plus près du Soleil et de sa couronne

T2.4·Mouvement dans un champ de gravitation T4.3·Effet photoélectrique

#photon#énergie d'un photon#spectre d'émission#couronne solaire#lois de Kepler#troisième loi de Kepler#orbite elliptique#aphélie#périhélie#assistance gravitationnelle#Parker Solar Probe

La couronne solaire correspond à l'atmosphère du Soleil, observable durant les éclipses. C'est une couche de gaz dans laquelle les atomes sont fortement ionisés (certains peuvent perdre jusqu'à 15 électrons) sous l'effet d'une température de l'ordre de quelques millions de degrés. Le gaz de la couronne est rendu visible par les rayonnements émis par ses atomes ionisés (d'après « La couronne solaire », E. Maurice, L'Astronomie, 1963). L'objectif de cet exercice est d'étudier le rayonnement émis par les atomes métalliques fortement ionisés de la couronne solaire, puis le mouvement de la sonde PSP (« Parker Solar Probe »), envoyée en 2018 pour recueillir des informations sur la couronne solaire.

3.11, Étude du rayonnement émis par les atomes ionisés de la couronne solaire

Les radiations caractéristiques de la couronne solaire sont dues à la formation des ions Fe⁹⁺, Fe¹³⁺, Ni¹⁴⁺ et Ca¹⁴⁺ et résultent de la transition d'un électron entre deux états d'énergie différents de chacun de ces ions.

Données

1 eV = 1,6×10⁻¹⁹ J
Constante de Planck : h = 6,63×10⁻³⁴ J·s
Célérité de la lumière dans le vide supposée connue du candidat : c = 3,00×10⁸ m·s⁻¹
Relation entre l'énergie associée à une transition et la longueur d'onde de la radiation rayonnée : $\Delta E = \dfrac{h \cdot c}{\lambda}$

Ion	Longueur d'onde (m)	Énergie associée à la transition (eV)
Fe¹³⁺	λ(Fe¹³⁺)	ΔE(Fe¹³⁺)
Ca¹⁴⁺	5,694×10⁻⁷	2,18
Fe⁹⁺	6,374×10⁻⁷	1,94
Ni¹⁴⁺	6,701×10⁻⁷	1,85

Le spectre d'émission suivant a été obtenu lors de l'éclipse totale du Soleil du 29 mars 2006 en Turquie. Ce spectre montre la raie correspondant aux ions Fe¹³⁺ de la couronne solaire.

Figure 1 : partie du spectre d'émission de la couronne solaire, entre 470 et 540 nm. Une bande colorée où apparaissent plusieurs raies claires, surmontant un axe des longueurs d'onde λ en nanomètres gradué régulièrement et portant les repères imprimés 480 et 500. Une flèche notée Fe¹³⁺ et un trait vertical en pointillés désignent l'une des raies.

1.1

APP

T4.3

Donner la valeur de la longueur d'onde λ(Fe¹³⁺) de la radiation émise par l'ion Fe¹³⁺, en nm et en m.

1.2

APPVAL

T4.3

Préciser, en justifiant, le domaine des ondes (UV, visible, X, IR, etc.) associé à cette valeur.

1.3

REA

T4.3

Calculer la valeur de la transition d'énergie ΔE(Fe¹³⁺), en J puis en eV, correspondant à la raie d'émission de l'ion Fe¹³⁺.

3.22, La sonde PSP et l'assistance gravitationnelle de Vénus

La sonde PSP est un observatoire solaire spatial développé par la NASA, lancé le 12 août 2018, dont l'objectif est d'explorer une région inexplorée de l'espace à proximité du Soleil. Au cours de ses révolutions autour du Soleil, la sonde passera sept fois près de Vénus : chaque rencontre modifie sa trajectoire et lui permet de se rapprocher du Soleil (figure 2 du sujet : loin de Vénus, la trajectoire autour du Soleil n'est pas modifiée (orbite haute) ; au voisinage de Vénus, elle est modifiée (orbite de transfert) ; après la rencontre, la sonde se retrouve sur une orbite basse).

Figure 3 : courbe montrant l'évolution de la distance D séparant la sonde PSP du Soleil en fonction de la durée. En ordonnée, D en nombre de rayons solaires de 0 à 250 ; en abscisse, le temps en jours de 0 à environ 2 400. La courbe oscille entre un maximum et un minimum à chaque révolution ; sept traits verticaux en pointillés, numérotés de 1 à 7, marquent les rencontres successives avec Vénus. L'amplitude des oscillations diminue après chaque rencontre.

Données

Masse du Soleil : M_S = 1,99×10³⁰ kg
Rayon du Soleil : R_S = 6,96×10⁵ km
Constante universelle de la gravitation : G = 6,67×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻²

2.1

ANAREA

T2.4

Estimer, entre la 1ʳᵉ et la 2ᵉ rencontre avec Vénus, les valeurs de :

la période de révolution de la sonde PSP en jours ;
la distance maximale entre le Soleil et la sonde PSP en km ;
la distance minimale entre le Soleil et la sonde PSP en km.

2.2

REA

T2.4

Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la vitesse de la sonde PSP sur son orbite autour du Soleil a pour expression :

v = \sqrt{\dfrac{G \cdot M_S}{R}}

avec R le rayon de l'orbite de la sonde autour du Soleil. On note T la période de révolution de la sonde PSP autour du Soleil. Montrer que les grandeurs T et R vérifient la relation :

\dfrac{T^2}{R^3} = 2{,}97 \times 10^{-19}\ \text{s}^2\text{·m}^{-3}

2.3

REAVAL

T2.4

Après la 7ᵉ rencontre, on donne les valeurs suivantes (tableau 1) : période de révolution T = 87 jours ; distance maximale entre le centre du Soleil et la sonde : 1,1×10⁸ km ; distance minimale : 7,0×10⁶ km. On admet que pour des trajectoires elliptiques, le rayon de l'orbite est remplacé par le demi grand-axe de l'ellipse, défini par :

a = \dfrac{D_{\max} + D_{\min}}{2}

Vérifier que les valeurs du tableau 1 sont en accord avec la relation précédente.

3.33, Estimation du record de vitesse de la sonde PSP

On s'intéresse au mouvement de la sonde PSP après sa septième rencontre avec Vénus. Des données modélisées et fournies par la NASA indiquent les positions de la sonde autour du Soleil tous les 12 jours et 22 heures. La figure 4 du sujet représente les positions P₁ à P₇ réparties sur une trajectoire fermée et aplatie autour du Soleil S : resserrées et proches de S d'un côté (P₃), espacées et éloignées de l'autre (P₆, P₇).

Position	Date et heure (GMT)	Distance au Soleil (km)	Vitesse dans le référentiel héliocentrique (km·s⁻¹)
1	27/11/2024 à 12 h 17	98 130 368	20,5
2	10/12/2024 à 10 h 17	72 065 937	37,4
3	23/12/2024 à 8 h 17	13 461 628	131,2
4	5/1/2025 à 6 h 17	65 266 512	42,3
5	18/1/2025 à 4 h 17	94 856 493	22,7
6	31/1/2025 à 2 h 17	107 773 300	13,4
7	13/2/2025 à 0 h 17	107 908 666	13,3

Données

Le référentiel héliocentrique est défini par le centre du Soleil et trois axes pointant vers trois étoiles fixes.
Périhélie : point de la trajectoire d'un corps en orbite autour du Soleil le plus proche du Soleil.
Aphélie : point de la trajectoire d'un corps en orbite autour du Soleil le plus éloigné du Soleil.

3.1

APPCOM

T2.4

Énoncer la loi de Kepler permettant de justifier l'allure de la trajectoire de la sonde PSP autour du Soleil représentée dans la figure 4.

3.2

ANAVAL

T2.4

Parmi les points donnés dans le tableau 2, donner la date la plus proche à laquelle la sonde atteint l'aphélie de sa trajectoire.

Exercice 45 pts≈ 50 min

Au choix C, Cesta punta

T2.3·Mouvement dans un champ uniforme T2.2·Deuxième loi de Newton

#chute libre#champ de pesanteur uniforme#équations horaires#trajectoire parabolique#énergie cinétique#énergie potentielle de pesanteur#énergie mécanique#conservation de l'énergie#pelote basque

La pelote basque est un sport de balle se pratiquant à main nue, avec une raquette en bois ou avec un chistera (gant en osier). La cesta punta est une des spécialités de la pelote basque : le jeu consiste à renvoyer la balle servie par l'adversaire avec un chistera sur le mur appelé le fronton. Le service s'effectue à 36 mètres du mur ; il est réussi lorsque la balle, après avoir rebondi contre le mur, retombe entre les lignes 4 et 7.

D'après le schéma du terrain (figure 1, qui n'est pas à l'échelle) : le repère (Ox ; Oy) a pour origine O le pied du mur, l'axe Ox horizontal orienté du mur vers le joueur étant négatif côté terrain ; le joueur lance la balle depuis le point M₀ de coordonnées x₀ = −D et y₀ = h ; la ligne 7 se situe à x = −28 m et la ligne 4 à x = −16 m ; la balle frappe le mur au point F, à la hauteur H. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la balle, supposée ponctuelle, est lancée avec une vitesse initiale de norme v₀ dont le vecteur $\vec{v}_0$ forme un angle α avec l'horizontale. Le mouvement de la balle s'effectue dans le champ de pesanteur ; on néglige l'influence de l'air. Le moment où la balle quitte le chistera est choisi comme origine des dates : t₀ = 0 s. Le but de cet exercice est d'étudier, à l'aide du modèle de la chute libre, le mouvement de la balle afin de prévoir si le service est réussi. Le mouvement est décomposé en deux phases : avant, puis après le rebond sur le mur.

Données

D = 36 m
Masse de la balle : m = 126 g
Valeur mesurée à l'aide d'un radar de la vitesse initiale de la balle : v₀ = 36,2 m·s⁻¹
α = 12°
Intensité de la pesanteur : g = 9,81 m·s⁻²

4.11, Mouvement de la balle avant le rebond sur le mur

1.1

APP

T2.2

Indiquer l'information de l'énoncé permettant de formuler l'hypothèse que le mouvement de la balle s'effectue dans le cadre du modèle de la chute libre.

1.2

REA

T2.2T2.3

En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l'équation horaire du mouvement de la balle selon l'axe Ox est :

x(t) = v_0 \cos(\alpha)\, t - D

1.3

REAVAL

T2.3

Montrer que la balle frappe le mur à la date t_F = 1,0 s.

4.22, Étude énergétique de la balle avant le rebond sur le mur

Figure 2 : courbes simulées, à l'aide du modèle de la chute libre, des énergies de la balle avant le rebond. En ordonnée, E pp, E c et E m en joules, de 0 à 90, avec des graduations fines ; en abscisse, le temps t en secondes, de 0 à 1. Trois tracés sont repérés par des flèches : courbe 1, courbe 2 et courbe 3.

2.1

APP

T2.3

Rappeler les expressions littérales de l'énergie cinétique E_c, de l'énergie potentielle de pesanteur E_pp et de l'énergie mécanique E_m de la balle. L'énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle à l'ordonnée y = 0 m. On note v la norme du vecteur vitesse de la balle.

2.2

REA

T2.3

Calculer la valeur de l'énergie cinétique E_c à la date t = 0 s.

2.3

ANAVAL

T2.3

En explicitant votre raisonnement, identifier pour chaque courbe de la figure 2 la forme d'énergie correspondante.

2.4

ANAREA

T2.3

À l'aide de la figure 2, évaluer la valeur de la hauteur H de la balle lorsqu'elle touche le mur au point F.

4.33, Mouvement de la balle après le rebond sur le mur

La balle rebondit sur le mur en F. On fait l'hypothèse que la balle repart à la vitesse v_F = 35 m·s⁻¹. L'instant du rebond est choisi comme nouvelle origine des dates dans cette partie. La balle doit retomber entre les lignes 4 et 7 pour que le service soit réussi ; si la ligne 4 n'est pas dépassée, le point est acquis à l'adversaire ; si la ligne 7 est dépassée, le joueur a droit à un second et dernier service. L'étude du mouvement dans le repère (Ox ; Oy) de la figure 1 permet d'établir les équations horaires de la balle (x et y en mètres, t en secondes) :

x(t) = -34{,}9\,t \qquad y(t) = -4{,}9\,t^2 - 2{,}4\,t + 4{,}9

3.1

REAVAL

T2.3

Évaluer la valeur de la vitesse v_F à partir des équations horaires de la balle. Comparer avec la valeur donnée ci-dessus.

3.2

ANACOM

T2.3

Interpréter la valeur du coefficient du terme en t² dans l'expression de y(t). Préciser son unité.

3.3

ANAREAVAL

T2.3

À l'aide des équations horaires, on établit que l'équation cartésienne de la trajectoire de la balle est (x et y en mètres) :

y = -4{,}0 \times 10^{-3}\,x^2 + 6{,}9 \times 10^{-2}\,x + 4{,}9

Le service effectué est-il réussi ?

Méthodologie · Bac

Chaque corrigé suit une méthodologie de rédaction rigoureuse, avec formule littérale annoncée, étapes de calcul détaillées, analyse dimensionnelle et phrase de conclusion explicite. Compétences APP / ANA / REA / VAL / COM affichées par question pour cibler les attendus officiels de la grille d'évaluation Bac.

Espèce

Formule brute

Masse volumique (g·mL⁻¹)

Masse molaire (g·mol⁻¹)

Solubilité dans l'eau

3-méthylbutan-1-ol

C₅H₁₂O

0,81

88,1

peu soluble

Acide éthanoïque

C₂H₄O₂

1,05

60,0

très soluble

Éthanoate de 3-méthylbutyle

C₇H₁₄O₂

0,87

130,2

très peu soluble

Eau

H₂O

1,00

18,0

–

Cyclohexane

–

0,78

84,2

très peu soluble

Liaison

C=C

C=O

C–H

O–H d'un acide carboxylique

O–H d'un alcool

Nombre d'onde (cm⁻¹)

1 550 à 1 650

1 650 à 1 800

2 800 à 3 100

2 500 à 3 200

3 200 à 3 500

Exp. 1

Exp. 2

Exp. 3

Exp. 4

Température (°C)

Volume initial V₁ de 3-méthylbutan-1-ol (mL)

12,0

36,0

Masse initiale m₂ d'acide éthanoïque (g)

6,62

Volume V₃ d'acide sulfurique (mL)

0,5

Ordre de grandeur du temps de demi-réaction

plusieurs mois

plusieurs heures

une dizaine de minutes

inférieur à une dizaine de minutes

Ion

Longueur d'onde (m)

Énergie associée à la transition (eV)

Fe¹³⁺

λ(Fe¹³⁺)

ΔE(Fe¹³⁺)

Ca¹⁴⁺

5,694×10⁻⁷

2,18

Fe⁹⁺

6,374×10⁻⁷

1,94

Ni¹⁴⁺

6,701×10⁻⁷

1,85

Position

Date et heure (GMT)

Distance au Soleil (km)

Vitesse dans le référentiel héliocentrique (km·s⁻¹)

27/11/2024 à 12 h 17

98 130 368

20,5

10/12/2024 à 10 h 17

72 065 937

37,4

23/12/2024 à 8 h 17

13 461 628

131,2

5/1/2025 à 6 h 17

65 266 512

42,3

18/1/2025 à 4 h 17

94 856 493

22,7

31/1/2025 à 2 h 17

107 773 300

13,4

13/2/2025 à 0 h 17

107 908 666

13,3